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数学冲刺复习 数学精练(11) 1 三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为、,设向量,若/(I)求角B的大小;(II)求的取值范围ABCDEF2如图,FD垂直于矩形ABCD所在平面,CE/DF,()求证:BE/平面ADF;()若矩形ABCD的一个边AB =,EF =,则另一边BC的长为何值时,三棱锥F-BDE的体积为?3设点P的坐标为,直线l的方程为请写出点P到直线l的距离,并加以证明4一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有500ml和700ml两种型号,某天的产量如右表(单位:个):型号甲样式乙样式丙样式500ml2000z3000700ml300045005000按样式进行分层抽样,在该天生产的杯子中抽取100个,其中有甲样式杯子25个.(I)求z的值;(II)用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本,从这个样本中任取2个杯子,求至少有1个500ml杯子的概率5已知圆C1的方程为,定直线l的方程为动圆C与圆C1外切,且与直线l相切()求动圆圆心C的轨迹M的方程;(II)斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P,过点P作直线l的垂线恰好经过点A(0,6),并交轨迹M于异于点P的点Q,记为POQ(O为坐标原点)的面积,求的值6已知函数f(x)=xax + (a1),() 若,讨论函数的单调性;(II)已知a =1,若数列an的前n项和为,证明:参考答案1 解(I)由/知,即得,据余弦定理知 ,得 6分(II) 9分因为,所以,得 10分所以,得,即得的取值范围为 12分2解()过点E作CD的平行线交DF于点M,连接AM因为CE/DF,所以四边形CEMD是平行四边形可得EM = CD且EM /CD,于是四边形BEMA也是平行四边形,所以有BE/AM,而直线BE在平面ADF外,所以BE/平面ADF 6分 ABCDEF()由EF =,EM = AB =,得FM = 3且由可得FD = 4,从而得DE = 28分因为,所以平面CDFE所以, 10分因为,所以综上,当时,三棱锥F-BDE的体积为12分3解:点P到直线l的距离公式为 3分证法1:过点P作直线l的垂线,垂足为H若A = 0,则直线l的方程为,此时点P到直线l的距离为,而,可知结论是成立的 5分若,则直线PH的斜率为,方程为,与直线l的方程联立可得 解得, 9分据两点间距离公式得 12分证法2:若B = 0,则直线l的方程为,此时点P到直线l的距离为 ;若,则直线l的方程为,此时点P到直线l的距离为;若,过点P作y轴的垂线,交直线l于点Q,过点P作直线l于y轴的垂线,交直线l于点Q,设直线l的倾斜角为,则因为 , ,所以,综上,来源:学科网ZXXK证法:过点P作直线l的垂线,垂足为H则直线PH的一个方向向量对应于直线l的一个法向量,而直线l的一个法向量为,又线段PH的长为d,所以 或设点H的坐标为,则,可得 把点H的坐标代入直线l的方程得 整理得 ,解得证法:过点P作直线l的垂线,垂足为H在直线l上任取一点Q,直线PH的一个方向向量为,据向量知识,向量在向量上的投影的绝对值恰好是线段PH的长,因此 因为,而点满足,所以因此4解: (I)设该厂本月生产的乙样式的杯子为n个,在丙样式的杯子中抽取x个,由题意得, ,所以x=40. -2分则100402535,所以,n=7000, 故z2500 -6分(II)设所抽样本中有m个500ml杯子,因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2 -9分也就是抽取了2个500ml杯子,3个700ml杯子,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2个的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1个500ml杯子的基本事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2个,至少有1个500ml杯子的概率为. -12分5 解()设动圆圆心C的坐标为,动圆半径为R,则 ,且 2分 可得 A由于圆C1在直线l的上方,所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方,所以有,从而得,整理得,即为动圆圆心C的轨迹M的方程 5分(II)如图示,设点P的坐标为,则切线的斜率为,可得直线PQ的斜率为,所以直线PQ的方程为由于该直线经过点A(0,6),所以有,得因为点P在第一象限,所以,点P坐标为(4,2),直线PQ的方程为 9分把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得,解得或4,可得点Q的坐标为所以 13分6解() 可知的定义域为有 2分因为,所以故当时;当或时综上,函数在区间上单调递减,在区间和上单调增加. 6分(II)由,知,所以可得 分所以 因为 11分所以 综上,不等式得证 14分
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