黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得的坐标得答案【详解】 ，在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2.已知在等比数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设公比为，由等比数列的通项公式可得，由此求出的值，再由 求得结果【详解】设公比为，由等比数列的通项公式可得，即，解得， 故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题3.，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得，计算即可得答案【详解】根据题意，且，则.故选：C【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，注意分析的值，属于基础题4.若，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果【详解】若，则，故选：A【点睛】本题主要考查利用诱导公式化简式子，属于基础题5.等差数列中，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差中项的性质，再将转化为含有的算式即可【详解】因为数列为等差数列，所以，则，故选：B【点睛】本题考查了等差数列的性质，等差中项，等差数列的前项和属于基础题6.已知向量，则“”是“与反向”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与反向则存在唯一实数，使得，即 所以是“与反向”的充要条件故选C7.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得，为的中点，为的中点，则，又 .故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）8.在中，、分别为内角、的对边，若，则（）A. B. 或C. D. 或【答案】A【解析】【分析】根据题意，有的值求出的值，结合正弦定理可得，计算可得的值，比较、的大小，分析可得答案【详解】根据题意，在中，则，且为锐角；又由，可得，又由，则，则，故选：A【点睛】本题考查三角形中正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题9.对于非零向量，下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则在上的投影为D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由平面向量数量积的性质及其运算逐一检验即可得解。【详解】对于选项A，若，所以，故A错误，对于选项B，若，所以，则，故B正确，对于选项C，若，则在上的投影为，故C错误，对于选项D，若，不能推出，故D错误，综上可知：选项B正确，故选：B【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题。10.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，对变形可得，则函数是周期为的周期函数，据此可得，结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值，相加即可得答案【详解】根据题意，函数满足任意的都有，则，则函数是周期为的周期函数，又由函数是定义在上的奇函数，则，时，则，则；故；故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题11.在中，、分别为内角、的对边，点为线段上一点，则的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，结合余弦定理可求，结合三角形的面积公式可求，再由，结合，均为单位向量，和平行线分线段成比例可得，结合基本不等式可求【详解】，化简可得，且，均为单位向量，过分别作，垂足分别为，则，两式相加可得，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，解可得，则的最大值为故选：B【点睛】本题综合考查了余弦定理，平面向量的运算法则，三角形的面积公式，基本不等式的综合应用，12.数列，满足，若的前项和为，则下列选项正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知数列递推式求得首项，且得到，与原递推式作差可得数列的通项公式，代入，得到的通项公式，从而得出,然后构造函数，证明不等式成立，从而得到答案。【详解】由，得，-得：，即成立，；则所以，设，则在上单调递减，则，即令，则，故设，则在上单调递增，即令，则 故故选：D【点睛】本题考查数列递推式，训练了利用作差法求数列的通项公式，考查利用导数证明函数不等式，正确构造函数是关键，属难题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，则与的夹角为_【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，由条件，平方可得，由此求得的值【详解】设与的夹角为，则由，平方可得 ，解得，故答案为【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，已知三角函数值求角的大小，属于中档题14.函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为_【答案】【解析】【分析】由函数的部分图象，求出、和的值，即可写出的解析式【详解】由函数部分图象知， ， ，由时，解得，所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了三角函数的解析式的求法，是基础题15.数列满足，则数列的前项和_【答案】【解析】【分析】由等式两边加1，结合等比数列的定义和通项公式，可得，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】，即为，可得数列为首项为2，公比为2的等比数列，可得，即，数列的前n项和故答案为：【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查分组求和方法，化简运算能力，属于基础题16.下列命题中，在中，若，则为直角三角形； 若，则的最大值为；在中，若，则；在中， ，若为锐角，则的最大值为正确的命题的序号是_【答案】【解析】分析】由诱导公式，可判断三角形的形状，可判断；由向量垂直和模的性质可判断；由三角函数的恒等变换和正弦定理可判断；由正弦定理及余弦定理，以及三角函数的恒等变换，以及正弦函数的值域可判断【详解】在中，若，可得或，则为直角或钝角三角形，故错；若时，即，即垂直，则的最大值为，故正确；在中，若，即，即，即为，由，可得，故正确；在中， ，即为，即为，可得，即，可得锐角， ，可得时，的最大值为，故正确故答案为：【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）设数列满足，求数列前项和【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）根据是等差数列，设公差为d，由通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（）求得，由裂项相消求和，化简运算可得所求和【详解】（）公差d不为零的等差数列，若，且成等比数列，可得，即，解得则；（），可得前n项和.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式与等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题18.已知的内角，所对的边分别为，且（）求角的大小；（）若，求的值【答案】（1）（2）2.【解析】（）由，得，即，故（）由，得，即，又，由可得，所以【点睛】利用正、余弦定理进行“边转角”或“角转边”是近几年高考的热点，常求三角形的边、角及三角形的面积.要灵活运用正弦定理进行“边转角”或“角转边”，结合余弦定理和面积公式，注意运用 三者的关系解题.19.已知数列中，且 （）求，；并证明等比数列；（）设，求数列的前项和【答案】（），证明见解析；（）.【解析】【分析】（）根据递推式逐步代入算出和的值，再根据题意将的递推式代入进行计算化简最终会得到和的关系，最终得证数列是等比数列；（）先根据（）求得的通项公式，得到，由通项公式的特点可根据错位相减法得到数列的前项和【详解】（）由题意，可知： ， 当时，当时， 数列是以为首项，为公比的等比数列（）由（），可知：， ， -，可得： ，【点睛】本题第（）题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第（）题主要考查利用错位相减法来求数列的前项和本题属中档题20.已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线有相同的焦点（）求椭圆的标准方程；（），是椭圆的右顶点和上顶点，直线和椭圆交于，点，求四边形面积的最大值【答案】（）；（）2.【解析】【分析】（）由椭圆的离心率为，椭圆C和抛物线有相同的焦点，列方程组求出，由此能求出椭圆C的标准方程（）由是椭圆的右顶点和上顶点，得到，联立，得，到直线的距离，到直线的距离，从而 ，由此能求出四边形面积的最大值【详解】（）椭圆的离心率为，椭圆C和抛物线有相同的焦点，解得，椭圆C的标准方程为（）是椭圆的右顶点和上顶点，直线和椭圆C交于点，联立，得，到直线的距离，到直线的距离， ，当时，取等号四边形面积的最大值为2【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、点到直线的距离公式、两点间距离公式、均值定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题