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大庆一中高三年级下学期第三次模拟考试数 学(理 科) 试 题第卷 选择题一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的 4 个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知复数z满足,则复数的虚部为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ,由 , ,故选B.2.已知集合 ,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合和集合,根据集合的交集计算即可.【详解】由得 ,所以,由得,所以,故,所以选B.【点睛】本题主要考查了集合的概念,集合的交集运算,涉及函数定义域的相关知识,属于中档题.3.已知双曲线的离心率为,则实数 的值为( )A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】分析:可用排除法,验证与是否符合题意即可得结果.详解:可用排除法,当时,化为,离心率为,符合题意;当时,化为,离心率为,符合题意,的值为,故选C.点睛:用特例代替题设所给的一般性条件,得出特殊结论,然后对各个选项进行检验,从而做出正确的判断,这种方法叫做特殊法. 若结果为定值,则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略,排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法,这种方法即可以提高做题速度和效率.4.执行如图所示的程序框图,输出 的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据框图,结合条件分支结构和循环结构,即可求出结果.【详解】第一次执行程序后,第二次执行程序后,第三次执行程序后,第四次执行程序后,因为不成立,跳出循环,输出,故选A.【点睛】本题主要考查了框图,涉计循环结构和条件分支结构,属于中档题.5.在各项不为零的等差数列中,数列是等比数列,且,则的值为( )A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质可知,代入方程可求出,再根据等比数列的性质 即可代入求解.【详解】因为等差数列中,所以,因为各项不为零,所以,因为数列是等比数列,所以所以,故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列中,当时,等比数列中,当时,属于中档题.6.若设,则 的展开式中的常数项是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【解析】,所以展开式的通项为: ,令 ,常数项是,故选A.7.已知矩形中,.如果向该矩形内随机投一点,那么使得与的面积都不小于的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】,由题意知本题是一个几何概型的概率,以AB为底边,要使面积不小于2,由于,则三角形的高要h1,同样,P点到AD的距离要不小于,满足条件的P的区域如图,其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是,使得ABP与ADP的面积都不小于2的概率为:.故选D.8.已知某函数的图象如图所示,则下列解析式与此图象最为符合的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】对于A,为奇函数,图象显然不关于原点对称,不符合题意;对于C,在上单调递减,不符合题意;对于D,在上单调递减,不符合题意;故选:B点睛:识图常用的方法(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题9.已知奇函数满足,若当时,且,则实数的值可以是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据奇函数满足可知函数周期,因此,当时,令,可得,故可得的可能取值.【详解】由可得,因为为奇函数,所以,故,函数周期为,所以,当时,令,可得,所以可以,即,故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性,属于中档题.函数中一些常见结论需要理解记忆:若 可知函数的周期,若,可知函数对称轴.10.下列命题正确个数是( )(1)“函数的最小正周期是”的充分不必要条件是“ ”;(2)设,则使函数 的定义域是且为奇函数的所有 的值为;(3)已知函数在定义域上为增函数,则.A. 1B. 2C. 3.D. 0【答案】B【解析】【分析】根据给出的命题,逐个分析即可.【详解】(1)因为,所以最小正周期,所以,所以是充分不必要条件正确;(2)因为 的定义域是,所以,故所有 的值为错误;(3)因为函数在定义域上为增函数,所以恒成立,即恒成立,由恒成立可知,命题正确.故选B.【点睛】本题主要考查了充分必要条件,函数的定义域、奇偶性,利用导数确定函数的增减性及恒成立问题,属于中档题.11.在中,点 是所在平面内一点,则当 取得最小值时, ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】以C为坐标原点,直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系,则,设当时取得最小值,选D.点睛:(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.12.已知函数,若,且对任意的,则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为,若,且对任意的恒成立,即 ,因为 即 ,对任意恒成立,令,则 令 ,则 所以函数 在 上单调递增.因为 所以方程 在上存在唯一实根 ,且满足 当 时, ,即 ,当 时, ,即所以函数在 上单调递减,在 上单调递增所以 所以=所以 ,因为 ,故整数 的最大值为 ,故选B.点睛:不等式恒成立问题常用变量分离的方法,即将变量与参数分开来看,转化为参数与函数与最值的不等式即可,本题中通过求导找到的极值点是不可求的,此时,利用导数等于零的方程代入最值中化简即可解决本题.第卷 非选择题二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分,把答案填在题中横线上13.已知随机变量服从正态分布且,则_【答案】0.76【解析】【分析】由已知条件可知数据对应的正态曲线的对称轴,根据对称性即可得到结果.【详解】随机变量服从正态分布,则曲线的对称轴为,由可得,则故答案为:0.76【点睛】本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率,求解的关键是把所求区间用已知区间表示;正态曲线的主要性质是:(1)正态曲线关于对称;(2)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.14.已知点和圆,过点 作圆的切线有两条,则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由过点可作圆的两条切线知,点在圆的外部,根据点与圆的位置关系可得关于的不等式,结合为圆的一般方程,可知满足的不等式,联立即可求解.【详解】因为为圆,所以,解得,又过点 作圆的切线有两条,所以点在圆的外部,故,解得,综上可知.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系的应用,圆的一般方程,圆的切线的条数,属于中档题.15.已知函数,若,则函数 的单调递增区间为_【答案】【解析】因为,所以所以,由得单调增区间为.【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由 求对称轴(4)由求增区间; 由求减区间16.设数列的前项积为,且. 若 ,则数列的前项和为_【答案】【解析】点睛:裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.三、解答题:(本大题共6小题,共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知中,角的对边分别为,若 +()求;()若 ,求面积的最大值。【答案】()()【解析】【分析】()根据正弦定理将条件转化为只含角的等式,再利用三角形内角和为,消去多余的变量,可得B; ()根据三角形的面积公式,余弦定理及基本不等式关系可求得面积的最大值.【详解】()由正弦定理可得: 又 .() 由余弦定理可得,又 故,当且仅当时,等号成立.所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,基本不等式,属于中档题.解题时要根据具体的条件,利用正弦定理或余弦定理,将条件统一成只含边或角的等式.18.某品牌服装店为了庆祝开业两周年,特举办“你敢买,我就送”的回馈活动,规定店庆当日进店购买指定服装的消费者可参加游戏,赢取奖金,游戏分为以下两种:游戏 1:参加该游戏赢取奖金的成功率为,成功后可获得元奖金;游戏 2:参加该游戏赢取奖金的成功率为,成功后可得元奖金;无论参与哪种游戏,未成功均没有收获,每人有且仅有一次机会,且每次游戏成功与否均互不影响,游戏结束后可到收银台领取奖金。()已知甲参加游戏 1,乙参加游戏 2,记甲与乙获得的总奖金为,若,求的值;()若甲、乙、丙三人都选择游戏 1或都选择游戏 2,问:他们选择何种规则,累计得到奖金的数学期望值最大?【答案】()0.6()见解析【解析】【分析】()根据甲、乙参加游戏会有4种结果,列出方程求出p的值,再计算P(200)的值;()分别计算甲、乙、丙都选游戏1和都选游戏2时,累计得到的奖金,再比较它们的大小即可【详解】()甲、乙参加游戏,会有4种结果; P0.4(1p)0.6(1p)0.4p0.6p0200300500则P(300)P(500)0.6p0.24,解得p0.4;所以P(200)P(0)+P(200)0.4(10.4)+0.6(10.4)0.6;()都选游戏1时,设赢的人数为X,则XB(3,0.6),E(X)np30.61.8;累计赢取的奖金为J(X)1.8200360(元);都选游戏2时,设赢的人数为Y,则YB(3,0.4),E(Y)np30.41.2;累计得到的奖金为J(Y)1.2300360(元);甲、乙、丙三人都选择游戏1或都选择游戏2,累计得到奖金的数学期望值一样多【点睛】本题考查概率、随机变量的数学期望、二项分布的计算问题,考查推理能力与计算能力,是中档题19.在四棱锥的底面是菱形, 底面, 分别是的中点, .()求证: ;()求直线与平面所成角的正弦值;(III)在边上是否存在点,使与所成角的余弦值为,若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.【答案】()见解析; (); ()见解析.【解析】【分析】()由题意结合几何关系可证得平面,据此证明题中的结论即可;()建立空间直角坐标系,求得直
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