3 3函数的单调性 3 3函数单调性 学习目标 1 理解增函数 减函数的定义 2 能根据函数图像说出函数是增函数还是减函数 3 学会根据函数图像找出函数的单调区间 人数 人 x市日平均出生人数统计图 年份 观察下列函数的图象 并回答问题 问题 1 f x x 从左至右图象上升还是下降 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 上升 增大 2 f x x 从左至右图象上升还是下降 在区间 上 随着x的增大 f x 值随着 下降 减小 1 2 2 2 1 o x f x 1 问题 问题 3 f x x2 能否直接说函数图像是上升还是下降 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 减小 0 增大 0 看课本52页 回答问题 1 什么叫做增函数 什么叫做减函数 2 根据增函数 减函数的定义 说出由函数解析式判断函数是增函数或减函数的一般步骤 3 什么叫做函数的单调性 函数的单调区间 从上面的图像可以看出 不同的函数 其图象的变化趋势不同 同一函数在不同区间上变化趋势也不同 函数图象的这种增 减变化就是函数的一个重要性质 函数的单调性 为了刻画函数的这种增 减性质我们引入增函数和减函数 f x x的图象 从左至右是上升的 即在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着增大 这样的函数我们称为增函数 f x x的图像 从左至右是下降的 即在区间 上 随着x的增大 f x 值随着减小 这样的函数称为减函数 1 2 2 2 1 o x f x 1 如何用f x 与x解析式定义增函数和减函数 对于给定区间上的函数y f x 在y f x 的图像上任取两点A x1 y1 B x2 y2 记 x x2 x1 y f x2 f x1 y2 y1 议一议 观察下列函数f x x2的图象 说出它是增函数还是减函数 在区间 0 上 随着x的增大 f x 的值随之减小 所以在区间 0 上是 在区间 0 上 随着x的增大 f x 的值随着增大 所以在区间 0 上是 x x y 2 1 y x 1 1 1 y 2 1 O O O y y x x y 2x 2 y x2 2x 说一说 说出以下函数是增函数还是减函数 例1 如图 函数y f x 的定义域是 10 10 根据图象指出函数y f x 的单调区间 并指出每一个单调区间上函数y f x 的单调性 解 函数y f x 的单调区间有 10 4 4 1 1 2 2 8 8 10 其中函数y f x 在区间 10 4 1 2 8 10 上是减函数在区间 4 1 2 8 上是增函数 例2 证明函数f x 2x 1在 上是增函数 证明 设x1 x2是任意两个不相等的实数 因为 x x2 x1 而且 y f x2 f x1 2x2 1 2x1 1 2 x2 x1 2 x所以 2 x x 2 0因此函数f x 2x 1在 上是增函数 例3 证明函数f x 在区间 0 上是减函数 证明 设x1 x2是任意两个不相等的负实数 因为 x x2 x1 而且 y f x2 f x1 又因为x1x2 0 所以因此f x 在区间 0 上是减函数 练一练 课本54页练习3 3 1 增 减 函数的定义 函数的单调性 单调区间定义 2 判断函数单调性的方法 1 利用图象 在单调区间上 图象从左向右是上升的是增函数 下降的是减函数 2 利用定义 课堂小结 知识再现