教学设计用二分法求方程的近似解教学目标 1知识与技能：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅导教学，让学生用计算器和计算机验证求方程近似值的过程； 2过程与方法：体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力、创新的能力，以及严谨的科学态度； 3情感态度及价值观：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法；感受通过迂回的方法使问题得到解决的快乐。教学重难点重点：二分法原理及其探究过程；用二分法求方程的近似解。难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解。教学方法 讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果。 教学过程设计一、设计问题，创设情境师：问题1：一天晚上，学校里同学们正在聚精会神地学习，忽然停电了。据了解原因是供电站到学校的某处线路出现了故障，维修工人该如何迅速查出故障所在？（电路长10km，每50m一根电线杆）生：1确定故障所在范围 2确定检测范围中点 3检测中点 (1)若中点为故障点，即可； (2)若中点不为故障点，判断故障所在范围（被中点所分两范围之一）4 判断故障范围是否符合精度，若符合，则得到故障点的近似处，否则重复上述步骤24步。师：问题2：要把故障可能发生的范围缩小的50-100m左右，即一两根电线杆附近，最多查几次就可以了？生：7次。（设计意图：从实际生活中的问题入手，引导学生进入深层的思考。让学生经历直观感知，观察发现，抽象与概括，数据处理，反思与建构等思维过程，体会数学来自于生活，应用于生活。）时间预设：5分钟2、 新知探究，尝试解决师：问题1：你是否会解方程(1)lnx+2x-6=0?生：可以在同一坐标系内画出函数y=lnx和函数y=-2x+6的图像，图像交点的横坐标就是方程的解。师：很好！充分体现了数形结合的思想。生：可以构造函数y=lnx+2x-6，函数的零点就是方程的根。师：很好，充分体现了函数与方程的思想。回顾旧知：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)有零点求方程lnx+2x-6=0的实根求函数y=lnx+2x-6的零点师：我们能得到方程的准确值吗？生：不能。师： 既然求不出准确值，问题2：能不能确定方程lnx+2x-6=0的根的大概范围呢？师：课本88页我们已经知道函数y=lnx+2x-6在区间(2,3)内存在且只有一个零点。且f(2)0,你有进一步缩小零点范围的方法吗？生：用引例中的方法，取中点。（设计意图：问题是数学的“心脏”，是数学知识、能力发展的生长点和思维的动力，把问题作为教学出发点，创设学生熟悉的问题组，构造认知冲突和悬念。问题1没有公式可用，引起学生认知冲突，激起学生进一步探究的欲望。意在复习方程的根和函数零点的联系。将方程的近似解转化为函数的零点。）引导学生根据示意图分析取中点，不断缩小零点的范围的过程。 2.52.752.62523（设计意图：通过图示引导学生看到零点的范围可以进一步的缩小，从而使区间的端点值无限的逼近函数的零点。）时间预设：5分钟3、 交流合作，解决问题次数取a=取b=区间长度 |a-b|1234师：下面由同学们通过计算填写表中的数据（设计意图：将上图画在黑板上，让同学们同桌俩一组，一个用计算器，一个记录数值，合作完成计算工作，把时间放心地交给学生，给他们动手实践的机会，加强学生的合作意识，锻炼学生独立分析问题、解决问题的能力。)生：到黑板上填写表格。师：播放PPT，对学生的解答做出判断并总结。师：问题1：计算何时终止？（达到精确度)xxobx对精确度的理解：类似于误差的一个概念，是零点与近似值之间的差值的绝对值的一个上界。师：问题2：函数零点的精确度与函数零点所在范围大小的关系？（直观想象） (设计意图：一方面将研究问题进一步明确化，另一方面为引出二分法做铺垫，同时培养学生直观想象能力。利用数轴画图出简图来辅助说明，理解为求得方程更为精确的近似解，直观上就是去探求零点所处的更小的范围，即求方程近似解的问题可以转化为不断缩小零点所在范围或区间的问题。)师：问题3：如果精确度为0.1，近似值是多少？生：2.5或2.5625问题4：如果精确度为0.01呢？生：还得继续算。师：随着精确度的调整，要不断地大量地重复计算，下面我利用excel演示用计算机画函数的图像和求方程的近似解过程。打开链接的excel表，在sheet1工作表输入A3输入x的一列取值，B3输入公式，得到一列函数值，用这组值生成散点图。用二分法求方程ln(x)+2x-6=0的近似解（精确到0.01）xy0.1-8.1025850931-42-1.30685281931.09861228943.38629436155.60943791267.79175946979.945910149812.07944154914.197224581016.30258509在sheet2工作表中输入：A3输入2，B3输入3，C3输入平均值函数，求A3和B3的平均值，在D3输入函数表达式；A4输入条件语句：IF D30,THEN A3 ELSE C3；B4输入条件语句：IF D30,THEN B3 ELSE C3。拖动填充柄，得到一组数据。用二分法求方程ln(x)+2x-6=0的近似解（精确到0.01）ab区间中点中点函数值精确度232.5-0.08370926812.532.750.5116009120.52.52.752.6250.2150808960.252.52.6252.56250.0659833440.1252.52.56252.53125-0.0087867480.06252.531252.56252.5468750.0286171170.031252.531252.5468752.53906250.0099199180.0156252.531252.53906252.535156250.0005677720.00781252.531252.535156252.533203125-0.0041091910.003906252.5332031252.535156252.534179688-0.0017706350.0019531252.5341796882.535156252.534667969-0.0006014130.0009765632.5346679692.535156252.534912109-1.68157E-050.000488281师：精确度为0.01时零点的近似值是多少？生：2.53125或2.5390625师：精确度为0.001时零点的近似值是多少？生：2.534179688或2.53515625（设计意图：利用多媒体辅助教学有利于完善学生认知，深刻体验二分法思想的本质，为学生自身总结归纳步骤奠定基础，并且提高教学效率。让学生从不同步长的数据中选择所需的数据，提高数据处理能力，使学生的感官受到强烈的冲击，加深对二分法的理解。）时间预设：13分钟四、归纳总结，揭示新知 教师进一步引导学生梳理前面的思维过程，先可以采用通俗的语言加以概括。教师板书二分法的定义，本方法所体现的思想是数学中的重要思想逼近思想。着重指出“二分法”的实质是将函数零点所在的区间不断的一分为二，使得新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点。师：用二分法求函数零点的基本步骤是什么？引导学生归纳得出：师：（1）求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？生：确定区间a,b，使 f(a)f(b)0师：（2）为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？生：求区间的中点c，并计算f(c)的值 师：（3）若f(c)=0说明什么？ 若f(a)f(c)0或f(c)f(b)0 ，则分别说明什么？生：若f(c)=0 ，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0 ，则零点x0(a,c)；若f(c)f(b)0 ，则零点x0(c,b).师：（4）何时终止计算？生：若 |a-b|，则得到零点近似值a（或b）教师板书用二分法求函数零点近似值的基本步骤：确定区间a,b，使f(a)f(b)0 ，给定精度；2. 求区间(a,b)的中点c；3. 计算f(c)； （1）若f(c)=0，则c就是函数的零点； （2）若f(a)f(c)0 ，则令b=c，（此时零点x0(a,c)）；（3）若f(c)f(b)0 ，则令a=c，（此时零点x0(c,b)）.4. 判断是否达到精确度：若 |a-b|，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤 24（设计意图：通过引导，让学生理解二分法的定义及无限逼近的数学思想，对用二分法求函数零点的步骤充分理解，初步接触到算法的思想。）时间预设：7分钟五、应用新知，实践巩固例2、 借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）由学生利用计算器计算自行得出答案。师:问题1：第一步做什么？生：将方程的解转化为函数的零点，构造函数。师：问题2：怎样确定的初始区间？生：画图像生：试值。师：初始区间是什么？生：（1,2）师：问题3：近似解是多少？师：问题4: 精确度改为0.01呢?由一名同学上讲台为同学们展示画图及求解过程。（设计意图：精心设计了阶梯型的问题串，使学生主动参与教学活动，思维层层深入，体现了教师为主导，学生为主体的教学原则。让学生展示计算器求得的近似值，并尝试用计算机进行操作。）练习：下列函数的图象中，其中不能用二分法求函数零点的是（ C ）xy0xyxy0xy0 A B C D（设计意图：练习是为了让学生明确二分法求近似解的使用范围，即适用于变号零点的近似解问题。）时间预设：11分钟六、反思小结，体会收获1、 什么是二分法？2、 具有什么特征的函数不能用二分法求零点？3、 用二分法求函数零点的步骤是什么