2020考前冲刺数学第三部分【高考预测】1.空间直线与平面的位置关系2.空间角3.空间距离4.简单几何体5.利用三垂线定理作二面角的平面角6.求点到面的距离7.折叠问题【易错点点睛】易错点1 空间直线与平面的位置关系1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB于点F.（1）证明：PA/平面EDB；（2）证明：BP平面EFD；（3）求二面角CPDD的大小.【错误解答】第（2）问证明：PD=DC，E为PC的中点，DEPC，DF在平面PBC上的射影为EF，又由已知EFPB，所以根据三垂线定理可得：DFPB，又EFPB，PB平面EFD。【错解分析】直线在平面上的射影的概念理解错误，只有DEPC，不能得出EF为DF在面PBC上的射影，应先证明DE平面PBC，才能得出EF为DF在面PBC上的射影，再利用三垂线定理。【正确解答】（1）如图，连接AC、AC交BD于O，连接EO。底面ABCD为正方形，O为AC的中点，在PAC中，EO是中位线，PA/EO，又EO平面EDB，且PA平面EDB，所以PA/平面EDB；（2）PD平面ABCD，平面PDC平面ABCD，又底面ABCD为正方形，BCCD，BC平面PCD，BCDE，又DEPC，DE平面PBC，DF在平面PBC上的射影为EF，又EFPB，DFPB，又PBEF，PB平面DEF；（3）由（2）知，PBDF，故EFD是二面角CPBD的平面角。由（2）知，DEEF，PDDB，设正方形ABCD的边长为a则PD=DC=a，BD=a，PB=a，PC=a,DE=PC=,在RtPDBk ,OF=.在RtEFD中，sinEFD=,EFD=所以二面角CPBD的大小为2下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l面MNP的图形的序号是_.(写出所有符合要求的图形序号)【错误解答】由于l在MN、NP、MP所在的面内的射影分别为各面正方形的对角线，由正方形的性质可得lMN，lMP，lNP，（1）中l面MNP；（2）中l在下底面的射影与MP垂直，lMP，l面MNP；（3）中取AB的中点E，连接ME、NE，l在下底面的射影垂直于EN，lEN，l面MEN，lMN，同理lMP，l面MNP；（4）中l在面ADD1A1上的射影与MP垂直，lMP，l面MNP；（5）中取AA1中点E，连接ME，EP，l在面ADD1A1、面ABB1A1内的射影分别与ME，EP垂直，lME，l面MP，得l面MPN；综合知，本题的答案是（1）、（2）、（3）、（4）、（5）【错解分析】直线与平面垂直的判定有误，证一条直线与一个面垂直，应该证明这条直线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。【正确解答】（1）中l在面ADD1A、A1B1C1D1，内的射影分别为AD1，B1D1，而AD1MN，B1D1MP，lMN，lMP, l面MNP；（2）中若lMN,则取AA1的中点E，连接ME、NE，l在面ADD1A1内的射影为AD1而AD1ME，lME，结合lMN，得l面MEN，lNE,这显然不可能，l与MN不可能垂直，l与面MNP不垂直；（3）类似（2）的证明，可得l与面MNP不垂直；（4）中lMP易证，而MNAC，lAC，lMN，l面MNP；（5）中取AA1中点E，连接ME，PE，可证得l面MEP，lMP，同理可证lNP，l面MNP，综上知，本题的正答案是（1）、（4）、（5）。3（2020精选模拟）如图10-4所示，在正三棱锥ABCD中，BAC=30，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于E、F、G、H。（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由；（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC平面EFGH，请给出证明。【错误解答】（1）AD平面EFGH，又平面ACD平面EFGH=HG，ADHG，同理ADEF，EFHG，同理EHFG，四边形EFGH为平行四边形；（2）取AD中点P，连接BP、CP，ABCD为正棱锥，所以BPAD，CPAD，AD面BCP，又由（1）知HGAD，HG面BCP，P为所求，此时AP=.【特别提醒】解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证a则过a作一平面，使=b，再证ab；第三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，要用三垂线定理将其转化为两相交直线是否垂直。线面的位置关系是立体几何的基础，学习时应予以重视。【变式训练】1 如图10-5 所示的四个正方体图形中，A、B为正方体的四个项点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是_.(写出所有符合要求的图形序号)答案： 解析：中平面MNP/平面AB， AB/平面 MNP；中取下底面中心O，MP的中点C，连接NO， NC，则由已知AB/NO，ABNCAB面MNP； 中AB/MP,AB/平面MNP；中AB面MNP填2 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点。（1）求证：平面A1EC平面AA1C1C；答案：连接A1C与AC1交于点F，则由条件可得EC1=EA1，则EFAC1，同理EC1=EA，则EFA1C所以EF上平面AA1C1C，而EF平面A1EC，所以平面A1EC平面AA1C1C.（2）若把平面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角为60时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由。答案：延长CE交C1B1的延长线于点H，则有C1B1=B1H=A1R1,故HA1C1=90且CA1H=90，所以CA1C为平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角的平面角，若此棱柱为“黄金棱柱”，则 CA1=60, 应有CC1=与条件AB=AA1矛盾此三棱柱不为“黄金棱柱”（3）设AB=a，求三棱锥A-A1EC的体积。答案： VA1-A1EC=VE-AA1C=EFAA1AC3 已知正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，G是侧面PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=BC，F是PB上一点， 且PF=PB，如图（1）求证：GF平面PBC；答案：连接BG并延长交AP于M，由C为APAB的重心，则MG=BM，又由PF=，GF/MP APBP,APCPAP平面PBC， GF平面PBC（2）求证：EFBC；答案：在侧面PBC内作FD/PC交BC于DPF=PB,DC=BC.又BE=BC,DE=BC.故BE=DE，E为BD的中点，由PBC为等腰三角形，得FBD也为等腰三角形FB=FD EFBC（3）求证：GE是异面直线PG与BC的公垂线。答案：GF平面PBC，且EFBC，GEBC，连PG交AB于H，则GH=PH，过C作GN/AB交PB于N，则BN= PBPHAB，PGAB，PGGN BN=PB，BE=BC，NE/PC，而PC上平面PAB，NE平面PAB，又PG面PAB，NEPG，又PGGN，PG平面GEN，而GEC平面GENPGGE，又由GEBC，GE是异面直线PG与BC的公垂线易错点 2空间角1（2020精选模拟）如图10-8，在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。（1）证明：ACSB；（2）求二面角NCMB的大小； （3）求点B到平面CMN的距离。【错误解答】 第（2）问：过N作NFCM，过F作FECM交BC于E点，则NFE为二面角NCMB的平面角。（此题只做到此处，因为不知E、F的位置，NFE等于多少计算不出来）。 【错解分析】求二面角的大小时，只顾用定义作出二面角的平面角，给计算千百万麻烦或根本就算不出来，所以一般用三垂线定理来作二面角的平面角，就是便于计算。SDAC，SD面ABCD，又N、E分别为SB、BD的中点，NESD，NE面ABC，又EFCM，NFCM，NFE为二面角NCMB的平面角。NE=SD=，在正ABC中，由平面几何知识可求得EF=MB=，在RtNEF中，tanNEF=,二面角NCMB的大小是arctan2；（3）在RtNEF中，NF=SCMN=CMNF=，SCMB=BMCM=2.设点B到平面CMN的距离为h, VBCMN=VN-CMB,NE平面CMB，SCMNh=SCMBNE，h=即点B到平面CMN的距离为。2（2020精选模拟）在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1。 （1）求二面角CDEC1的正切值 （2）求直线EC1与FD1所成角的余弦值。 【错误解答】 第（2）问：D1FDE，C1ED为EC1与FD1所成的角，DE=3，C1D=2，C1E=，cosC1EE=EC1与FD1所成角的余弦值为。 （2）延长BA至点E1，使AE1=1，连接DE1有D1C1E1E，D1C1=E1E，四边形D1E1EC1是平行四边形。E1D1EC1，于是E1D1F为EC1与FD1所成的角。在RtBE1F中，E1F=，在RtD1DE1中，D1E1=，在RtD1DF中，FD1=，所以在E1FD1中，由余弦定理得：cosE1D1F= 正解二：（1）以A为原点，分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系,则有D(0,3,0)、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）C1（4，3，2）于是=（3，-3，0），=(1,3,2),=(-4,2,2).设向量=(x,y,z)为平面C1DEA的法向量,则有,得x=y=-,令x=1,得=(1,1,-2),向量=(0,0,2)与平面CDE垂直, 成的角为二面角CDEC1的平面角。 （2）设EC1与FD1所成的角为，则cos= 3(2020精选模拟题)如图10-11，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EFCD，AM=EF。 （1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线； （2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。 【错误解答】 第（2）问：由（1）知PCMF，AF为AC在面EAM内的射影，CAF为AC与平面EAM所成的角，通过解三角形FAC，解得sinCAF=.AC与平面EAM所成的角的正弦值为。 【错解分析】直线AC与平面EAM所成的角不是就得不出AF为AC在面EAM内的射影，直线与平面所成的角必须是斜线与斜线在平面内的射影所夹的角，所以找射影是关键。 【正确解答】（1）PA平面ABCD，PACD，又底面ABCD为正方形，CDAD，CD平面PAD，得平面PCD平面PAD，又AE平面PAD，AEPD，AE平面PCD，AECD，又EFCD