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平面的基本性质与推论一. 教学内容:1. 平面的基本性质与推论2. 空间中的平行关系二. 教学目的1、了解平面的基本性质与推论,并能运用这些公理及推论去解决有关问题,会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础,通过直观感知,操作确认,思辨论证,归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。三. 教学重点、难点【重点】平面的基本性质与推论以及它们的应用;线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。【难点】自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用;如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线,线、面和面、面平行的判定和性质定理,并掌握这些定理的应用。四. 知识分析(一)平面的基本性质与推论1. 平面的基本性质(1)关于公理1三种数学语言表述:文字语言表述:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内。图形语言表述:如图1所示 图1符号语言表述: 内容剖析:公理1的内容反映了直线与平面的位置关系,条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件,结论“线上所有点都在面内”。这个结论阐述两个观点,一是整个直线在平面内,二是直线上所有点都在平面内。公理(1)的作用:既可判定直线是否在平面内,点是否在平面内,又可用直线检验平面。(2)关于公理2公理2的三种数学语言表述:文字语言表述:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。图形语言表述:如图2所示 图2符号语言表述:A、B、C三点不共线有且只有一个平面,使.内容剖析:公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”,结论是“有且只有一个平面”。条件中的“三点”是条件的骨干,不会被忽视,但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘,如舍之,结论就不成立了,因此绝对不能遗忘同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面;过不在同一直线上的四点,不一定有平面,因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。公理2中的“有且只有一个”含义要准确理解。这里的“有”是说图形存在。“只有一个”是说图形惟一,本公理强调的是存在和惟一两个方面。因此“有且只有一个”必须完整的使用,不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”,否则就没有表达存在性。“确定一个平面”中的“确定”是“有且只有”的同义词,也是指存在性和惟一性这两方面的,这个术语今后也会常常出现,要理解好。公理2的作用: 作用一是确定平面;作用二是可用其证明点、线共面问题。(3)关于公理3 公理3的三种数学语言表述:文字语言表述:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形语言表述:如图3所示。图3符号语言表述: 公理3的剖析: 公理3的内容反映了平面与平面的位置关系。公理2的条件简言之是“两面共一点”,结论是“两面共一线,且过这一点,线惟一”。对于本公理应强调对于不重合的两个平面,只要它们有公共点,它们就是相交的位置关系,交集是一条直线。公理3的作用:其一它是判定两个平面是否相交的依据,只要两个平面有一个公共点,就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线;其二它可以判定点在直线上,点是某两个平面的公共点,线是这两个平面的公共交线,则这点在交线上。2. 平面的基本性质的推论推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。请同学们想一想:三个推论的图形语言如何表示呢?三个推论的符号语言如何表述呢?三个推论有何作用呢?推论2的证明推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。已知:直线求证:经过直线a、b有且只有一个平面。【证明】(1)如图4所示,在直线a,b上分别取不同于点A的点C、B,得不在同一直线上的三点A、B、C,过这三个点有且只有一个平面(公理2)。图4又(公理1)平面是过相交直线a,b的平面。(2)如果过直线a和b还有另一平面,那么A,B,C三点也一定都在平面内,这样过不在一条直线上的三点A,B,C就有两个平面 、了,这与公理3矛盾。所以过直线a,b的平面只有一个。综上知,过直线a、b有且只有一个平面。3. 用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质(1)点与平面的位置关系:点A在平面内,记作A;点A不在内,记作; (2)直线与平面的位置关系:直线 m 在平面内,记作 ;直线 m 不在平面内,记作;(3)平面与平面 相交于直线a,记作 ;(4)直线 m 和 n 相交于点A,记作。4. 学习时应注意的几个问题学习本节课要注意正确的作图,恰当的作图有利于培养我们的空间想象能力在平面几何中,辅助线一般要画成虚线,而立体几何中则不同,一般是将看不见的线画成虚线,与它是否是辅助线无关,这一点同学们一定要注意。在平时的训练中要养成多动手、勤画图的习惯,必须熟练掌握空间图形的直观图的画法斜二测画法。要注意重视几何语言的训练和书写,尽可能熟记有关公理及推论的几何语言的叙述。5. 几种常见题型的解法(1)证明直线在平面内的方法:证明直线上有两点在平面内。(2)证明直线共面的方法:先证明其中两条直线确定一个平面,再证明其余直线都在这个平面内。(3)证明点在直线上的方法:首先确定这条直线是哪两个平面的交线,然后证明这个点是这两个平面的公共点。(二)平面中的平行关系1. 平行直线(1)空间两条直线的位置关系相交:在同一平面内,有且只有一个公共点;平行:在同一平面内,没有公共点。(2)初中几何中的平行公理: 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。 【说明】此结论在空间中仍成立(3)公理4(空间平行线的传递性):平行于同一条直线的两条直线互相平行即:如果直线a / b,c / b,那么a / c。 【说明】此公理是判定两直线平行的重要方法:寻找第三条直线分别与前两条直线平行。2. 等角定理 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等。 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。 需要说明的是:对于等角定理中的条件:“方向相同”。 (1)若仅将它改成“方向相反”,则这两个角也相等。 (2)若仅将它改成“一边方向相同,而另一边方向相反”,则这两个角互补。此定理及推论是证明角相等问题的常用方法。3. 空间图形的平移 如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F的位置,则说图形F在空间做了一次平移。 注意:图形平移后与原图形全等,即对应角和对应两点间的距离保持不变。 图形平移有如下性质: (1)平移前后的两个图形全等; (2)对应角的大小平移前后不变; (3)对应两点的距离平移前后不变; (4)对应两平行直线的位置关系在平移前后不变; (5)对应两垂直直线的位置关系在平移前后不变。4. 证明空间两直线平行的方法 (1)利用定义 用定义证明两条直线平行,需证两件事:一是两直线在同一平面内;二是两直线没有公共点。 (2)利用公理4 用公理4证明两条直线平行,只需证一件事:就是需找到直线c,使得a / c,同时b/c,由公理4得a / b。5. 直线与平面平行(1)直线和平面的位置关系有三种,用公共点的个数归纳为(2)线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。符号表示为:()该定理常表述为:“线线平行,则线面平行。”()用该定理判断直线a和平面平行时,必须具备三个条件:直线a不在平面内,即 。直线b在平面内,即。两直线a、b平行,即a / b。这三个条件缺一不可。(3)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和两平面的交线平行。符号表示:若 ,则a / b, 即“线面平行,则线线平行”。【说明】a. 此定理可以作为直线与直线平行的判定定理b. 定理中有3个条件:直线a和平面平行,即a /;平面、相交,即b;直线a在平面内,即 。三者缺一不可。 (4)线面平行定理的应用应用线面平行的判定定理证明线面平行,关键是找到平面内与平面外相互平行的直线。应用线面平行性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面,然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行。6. 两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似;可以从有无公共点来区分: 如果两个平面有不共线的三个公共点,那么由公理3可知:这两个平面必然重合; 如果两个平面有一个公共点,那么由公理2可知:这两个平面相交于过这个点的一条直线; 如果两个平面没有公共点,那么就说这两个平面相互平行。由此可知两个不重合的平面的位置关系:(1)平行没有公共点; (2)相交至少有一个公共点(或有一条公共直线)。 7. 面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 已知:、,(如图所示) 求证: 证明:用反证法 假设 , 同理有 由公理4知,这与相矛盾。 注意:(1)此定理用符号表示为 (2)应用本定理的关键是:要证面面平行,转化为证线面平行,即在内找两条相交直线、都平行于。 (3)这个定理有推论:“若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行。” 8. 面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 已知:,平面,(如图所示) 求证: 证明: 没有公共点,而,、没有公共点 又、, 注意:(1)本定理可作为线线平行的判定定理使用。 (2)面面平行的性质还有: 这条性质同时是线面平行的一种判定方法。 夹在两平行平面间的两条平行线段相等。 对三个平面 这是平面平行的传递性。 9. 两平面平行问题常常转化为线面平行,而线面平行又可以转化为线线平行。所以注意转化思想的应用,两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据,故应切实掌握好。【典型例题】 例1. 用符号表示下列语句,并画出图形。 (1)三个平面相交于一点P,且平面与平面交于PA,平面与平面交于PB,平面与平面交于PC。 (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC。 (3)直线a和b相交于平面内一点M。 解析:(1)符号语言表示: , 图形表示:如图
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