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成都龙泉中学2020级高三下学期“二诊”模拟考试试题数学(理工类)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 设集合,则的子集的个数是:( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】因为单调递增,且图象恒过点,且点在椭圆的内部,所以曲线与椭圆有两个公共点,即的子集的个数是4.故选A.2. 已知为单位向量,且与垂直,则的夹角为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设的夹角为,因为与垂直,所以,即,即,即,又因为,所以.故选C.3. 若等差数列满足,则的前2020项之和( )A. 1506 B. 1508 C. 1510 D. 1512【答案】D【解析】由题意,得,即,则等差数列的前2020项和.故选D.【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和公式的应用.在处理等差数列的有关运算时,利用一些性质(如:等差数列中,若,则)进行处理,可减少运算量,提高解题速度.4. 给出下列四个命题:“若为的极值点,则”的逆命题为真命题;“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是若命题,则;命题“,使得”的否定是:“均有”.其中不正确的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】对于命题,由于使得,但不是函数的极值点,故命题不正确;对于命题,由于取,虽有,但成平角,故不充分,则命题不正确;对于命题,由于,则其否定显然不正确,故命题也不正确;故应选答案C。5. 如图,已知平行四边形中,为线段的中点,则( )A. B. 2 C. D. 1【答案】D【解析】由题意,得,设,以所在直线为轴, 所在直线为轴建立平面直角坐标系,则,,则.故选D.【点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算.解决本题的技巧是合理利用和等腰直角三角形建立平面直角坐标系,大大减少了平面向量的线性运算,巧妙地避开了干扰信息.6. 设,则对任意实数a、b,若a+b0则()A. f(a)+f(b)0 B. f(a)+f(b)0C. f(a)f(b)0 D. f(a)f(b)0【答案】B【解析】易知函数为奇函数,且在上单调递增,因为,所以,则,即.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用.解决本题的关键在于联想到要判定函数的单调性和奇偶性,进而利用性质进行比较大小,这是一种常见题型,要多总结,多积累.7. 定义矩阵,若,则 ( )A. 图象关于中心对称 B. 图象关于直线对称C. 在区间上单调递增 D. 周期为的奇函数【答案】C【解析】当时,故函数在区间上的最大值为1.故选C.8. 如图所示的流程图,若输出的结果是9,则判断框中的横线上可以填入的最大整数为( )A. 17 B. 16 C. 15 D. 14【答案】B【解析】由程序框图,得,即判断框中的横线上可以填入的最大整数为16.故选B.9. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按31天算,记该女子一个月中的第天所织布的尺数为,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意女子每天织布数成等差数列,且,由于,且。所以,应选答案B。10. 已知函数,若,则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由,知为上的偶函数,且当时,,为增函数,故等价于不等式,解得的取值范围为,故选A点睛:对于求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题,若f(x)为偶函数,则f(x)f(x)f(|x|)11. 已知,则曲线为椭圆的概率是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意,得共有种不同情况,其中可以满足“曲线为椭圆”的有三种情况,由古典概型的概率公式,得所求概率为.故选D.12. 已知定义在上的函数与其导函数满足,若,则点所在区域的面积为( )A. 12 B. 6 C. 18 D. 9【答案】A【解析】由题意设,则,故原不等式可化为,即。由于,故当时,函数单调递减,此时不等式可化为,即;故当时,函数单调递增,此时不等式可化为,即。画出不等式组表示的区域如图,结合图形可算得该不等式组表示的区域的面积为,应选答案A。点睛:本题的难度非常大,主要有这样几个难点较难突破,其一是怎样依据题设条件构造函数;其二是构造什么样的函数;第三是如何表示不等式组代表的区域。求解时先从题设中的条件入手构造出函数,再借助已知与导数工具判定其单调性,然后将原不等式进行等价转化为不等式组,最后再画出不等式组表示的区域求出其面积使得问题获解。二、填空题:本题共4题,每小题5分,共20分13. 已知抛物线的准线方程为,则实数a的值为_.【答案】【解析】将化为,由题意,得,即.14. 设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最小值为_.【答案】【解析】当时,,则所以曲线及该曲线在点处的切线为, 区域可作图如下则根据线性规划的目标点的选取,将其转化为可行域内取一点与定点之间距离的平方与2的差的最小值,有可行域可知,定点到直线的距离为,所以可行域内取一点与定点之间距离的平方与2的差的最小值.15. 在区间上随机地取两个数,则事件“”发生的概率为_【答案】【解析】由题意画出事件“”所表示的图象,如图阴影部分,阴影部分的面积为,由几何概型概率公式有事件“”的概率为.16. 已知数列与满足,若的前项和为且对一切恒成立,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】依题设,当时,;当时,又当时, . .等价于,即,对一切恒成立,令,则,当时,当时,当或时,取得最大值, , .三、解答题:(本题包括6小题,共70分。要求写出证明过程或演算步骤)17. 在ABC中,A,B,C的对边分别为a、b、c,ABC的面积为(1)求c的值;(2)求cos(BC)的值【答案】(1)7;(2)【解析】试题分析:(1)先利用三角形的面积公式求出,再由余弦定理进行求解;(2)先由余弦定理求出,再由同角三角函数基本关系式或正弦定理求出,再利用两角差的余弦公式进行求解.试题解析:(1),ABC的面积为=absinC=sin,解得:a=5,由余弦定理可得:c=7 (2)由(1)可得:cosB=,又B(0,),可得:sinB=,cos(BC)=cosBcos+sinBsin=+=18. 时下,租车已经成为新一代的流行词,租车自驾游也慢慢流行起来,某小车租车点的收费标准是,不超过2天按照300元计算;超过两天的部分每天收费标准为100元(不足1天的部分按1天计算)有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游(各租一车一次),设甲、乙不超过2天还车的概率分别为;2天以上且不超过3天还车的概率分别;两人租车时间都不会超过4天(1)求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率;(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望【答案】(1);(2)分布列见解析,【解析】试题分析:(1)由甲所付租车费用大于乙所付租车费用知可分为乙租车2天与乙租车3天两种情况,由此能求出所求概率;(2)首先求得的所有可能取值,然后分别求出相应的概率,由此能求出的分布列与数学期望试题解析:(1)因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用,当乙租车2天内时,则甲租车3或4天,其概率为;当乙租车3天时,则甲租车4天,其概率为;则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为5分(2)设甲,乙两个所付的费用之和为可为600,700,800,900,1000,6分 8分故的分布列为600700800900100010分故的期望为12分考点:1、概率;2、离散型随机变量的分布列与期望19. 如图1,在矩形ABCD中,点分别在边上,且,交于点现将沿折起,使得平面平面,得到图2(1)在图2中,求证:;(2)若点是线段上的一动点,问点在什么位置时,二面角的余弦值为【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】试题分析:(1)先证明,再证明,证明平面,从而可得;(2)建立直角坐标系,设,求出平面、平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,结合二面角的余弦值为,即可得出结论.试题解析:()在矩形中,, ,, 即.在图2中,. 又平面平面,平面平面,平面, ,依题意,且,四边形为平行四边形., , 又,平面, 又平面, .()如图1,在中,.如图,以点为原点建立平面直角坐标系,则,平面,为平面的法向量.设,则,设为平面的法向量,则即,可取,依题意,有,整理得,即,当点在线段的四等分点且时,满足题意20. 椭圆:的离心率为,过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点,(1)求椭圆的标准方程;(2)设椭圆的左顶点为,右顶点为,点是椭圆上的动点,且点与点,不重合,直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,求证:以线段为直径的圆恒过定点【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)由题意可得,则椭圆C的标准方程为. (2)由题意可得,结合题意可得圆的方程为,则以线段ST为直径的圆恒过定点. 试题解析:(1)解:,又,联立解得:,所以椭圆C的标准方程为. (2)证明:设直线AP的斜率为k,则直线AP的方程为,联立得.,整理得:,故,又, (分别为直线PA,PB的斜率),所以,所以直线PB的方程为:,联立得,所以以ST为直径的圆的方程为:,令,解得:,所以以线段ST为直径的圆恒过定点. 21. 已知函数(1)若在处取极值,求在点处的切线方程;(2)当时,若有唯一的零点,求注表示不超过的最大整数,如参考数据:【答案】(1);(2)2【解析】试题分析:(1)求导,利用对应导函数为0求出值,再利用导数的几何意义进行求解;(2)求导,讨论导函数的符号变化确定函数的单调性和
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