苏教版 数学 苏教版 数学 八年级上册 知识点总结 八年级上册 知识点总结 第一章第一章 轴对称图形轴对称图形 轴 对 称 图 形 线段 角 等腰三角形 轴 对 称 的 性 质 等腰梯形 轴对称的应用 轴 对 称 设 计 轴 对 称 图 案 第二章第二章 勾股定理与平方根勾股定理与平方根 一 勾股定理一 勾股定理 1 1 勾股定理 勾股定理 直角三角形两直角边 a b 的平方和等于斜边 c 的平方 即a b c 2 2 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 有关系a b c 那么这个三角形是直角三角形 3 3 勾股数 勾股数 满足a b c的三个正整数 称为勾股数 222 222 222 二 实数的概念及分类二 实数的概念及分类 1 1 实数的分类 实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2 2 无理数 无理数 无限不循环小数叫做无理数 在理解无理数时 要抓住 无限不循环 这一时之 归纳起来有四类 1 开方开不尽的数 如 7 32等 2 有特定意义的数 如圆周率 或化简后含有 的数 如 3 有特定结构的数 如 0 1010010001 等 4 某些三角函数值 如 sin60 等 o 3 8 等 三 平方根 算数平方根和立方根三 平方根 算数平方根和立方根 1 算术平方根 一般地 如果一个正数 x 的平方等于 a 即 x a 那么这个正数 x 就 叫做 a 的算术平方根 特别地 0 的算术平方根是 0 表示方法 记作 a 读作根号 a 性质 正数和零的算术平方根都只有一个 零的算术平方根是零 2 平方根 一般地 如果一个数 x 的平方等于 a 即 x2 a 那么这个数 x 就叫做 a 的 平方根 或二次方根 表示方法 正数 a 的平方根记做 a 读作 正 负根号 a 2 性质 一个正数有两个平方根 它们互为相反数 零的平方根是零 负数没有平方根 开平方 求一个数 a 的平方根的运算 叫做开平方 注意a的双重非负性 a 0 3 立方根 一般地 如果一个数 x 的立方等于 a 即 x3 a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根 或三 次方根 表示方法 记作3a 性质 一个正数有一个正的立方根 一个负数有一个负的立方根 零的立方根是零 注意 3 a 3a 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面 a 0 四 实数大小的比较四 实数大小的比较 1 实数比较大小 正数大于零 负数小于零 正数大于一切负数 数轴上的两个点所 表示的数 右边的总比左边的大 两个负数 绝对值大的反而小 2 实数大小比较的几种常用方法 1 数轴比较 在数轴上表示的两个数 右边的数总比左边的数大 2 求差比较 设 a b 是实数 a b 0 a b a b 0 a b a b 0 a b 3 求商比较法 设 a b 是两正实数 1 a b b aa b 1 a b a b 1 a b 4 绝对值比较法 设 a b 是两负实数 则a b a b 5 平方法 设 a b 是两负实数 则a2 b2 a b 五 实数的运算五 实数的运算 1 1 六种运算 六种运算 加 减 乘 除 乘方 开方 2 2 实数的运算顺序 先算乘方和开方 再算乘除 最后算加减 如果有括号 就先算括号里面的 3 3 运算律 运算律 加法交换律a b b a 加法结合律 a b c a b c 乘法交换律ab ba 乘法结合律 ab c a bc 乘法对加法的分配律a b c ab ac 第三章第三章 中心对称图形 一 中心对称图形 一 一 平移一 平移 1 定义 在平面内 将一个图形整体沿某方向移动一定的距离 这样的图形运动称为平移 2 性质 平移前后两个图形是全等图形 对应点连线平行且相等 对应线段平行且相等 对应角 相等 二 旋转二 旋转 1 定义 在平面内 将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度 这样的图形运动称为旋 转 这个定点称为旋转中心 转动的角叫做旋转角 2 性质 旋转前后两个图形是全等图形 对应点到旋转中心的距离相等 对应点与旋转中心的 连线所成的角等于旋转角 三 四边形的相关概念三 四边形的相关概念 1 四边形 在同一平面内 由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形 2 四边形具有不稳定性 3 四边形的内角和定理及外角和定理 四边形的内角和定理 四边形的内角和等于 360 四边形的外角和定理 四边形的外角和等于 360 推论 多边形的内角和定理 n 边形的内角和等于 n 2 180 多边形的外角和定理 任意多边形的外角和等于 360 6 设多边形的边数为 n 则多边形的对角线共有 n n 3 2 条 从 n 边形的一个顶点出 发能引 n 3 条对角线 将 n 边形分成 n 2 个三角形 四 平行四边形四 平行四边形 1 平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 2 平行四边形的性质 1 平行四边形的对边平行且相等 2 平行四边形相邻的角互补 对角相等 3 平行四边形的对角线互相平分 4 平行四边形是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 常用点 1 若一直线过平行四边形两对角线的交点 则这条直线被一组对边截下的 线段的中点是对角线的交点 并且这条直线二等分此平行四边形的面积 2 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 3 平行四边形的判定 1 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3 定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4 定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 5 定理 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4 两条平行线的距离 两条平行线中 一条直线上的任意一点到另一条直线的距离 叫做这两条平行线的距 离 平行线间的距离处处相等 5 平行四边形的面积 S 平行四边形 底边长 高 ah 五 矩形五 矩形 1 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2 矩形的性质 1 矩形的对边平行且相等 2 矩形的四个角都是直角 3 矩形的对角线相等且互相平分 4 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 对称中心是对角线的交点 对称中心到 矩形四个顶点的距离相等 对称轴有两条 是对边中点连线所在的直线 3 矩形的判定 1 定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 3 定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 4 矩形的面积 S 矩形 长 宽 ab 六 菱形六 菱形 1 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2 菱形的性质 1 菱形的四条边相等 对边平行 2 菱形的相邻的角互补 对角相等 3 菱形的对角线互相垂直平分 并且每一条对角线平分一组对角 4 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形 对称中心是对角线的交点 对称中心到 菱形四条边的距离相等 对称轴有两条 是对角线所在的直线 3 菱形的判定 1 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 定理 1 四边都相等的四边形是菱形 3 定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4 菱形的面积 S 菱形 底边长 高 两条对角线乘积的一半 七 正方形七 正方形 1 正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 2 正方形的性质 1 正方形四条边都相等 对边平行 2 正方形的四个角都是直角 3 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 4 正方形既是中心对称图形又是轴对称图形 对称中心是对角线的交点 对称轴有 四条 是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线 3 正方形的判定 判定一个四边形是正方形的主要依据是定义 途径有两种 先证它是矩形 再证它是菱形 先证它是菱形 再证它是矩形 4 正方形的面积 设正方形边长为 a 对角线长为 b S 正方形 a 2 b 2 2 八 梯形八 梯形 一 1 梯形的相关概念 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 梯形中平行的两边叫做梯形的底 通常把较短的底叫做上底 较长的底叫做下底 梯形中不平行的两边叫做梯形的腰 梯形的两底的距离叫做梯形的高 2 梯形的判定 1 定义 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形 2 一组对边平行且不相等的四边形是梯形 二 直角梯形的定义 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形 一般地 梯形的分类如下 一般梯形 梯形直角梯形 特殊梯形 等腰梯形 三 等腰梯形 1 等腰梯形的定义 两腰相等的梯形叫做等腰梯形 2 等腰梯形的性质 1 等腰梯形的两腰相等 两底平行 2 等腰梯形同一底上的两个角相等 同一腰上的两个角互补 3 等腰梯形的对角线相等 4 等腰梯形是轴对称图形 它只有一条对称轴 即两底的垂直平分线 3 等腰梯形的判定 1 定义 两腰相等的梯形是等腰梯形 2 定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 3 对角线相等的梯形是等腰梯形 选择题和填空题可直接用 四 梯形的面积 1 如图 S 梯形 ABCD 1 2 CD AB DE 2 梯形中有关图形的面积 S ABD S BAC S AOD S BOC S ADC S BCD 八 中心对称图形八 中心对称图形 1 定义 在平面内 一个图形绕某个点旋转 180 如果旋转前后的图形互相重合 那么这个图 形叫做中心对称图形 这个点叫做它的对称中心 2 性质 1 关于中心对称的两个图形是全等形 2 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分 3 关于中心对称的两个图形 对应线段平行 或在同一直线上 且相等 3 判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一点平分 那么这两个图形关于 这一点对称 第四章第四章数量 位置的变化数量 位置的变化 一 一 在平面内 确定物体的位置一般需要两个数据 在平面内 确定物体的位置一般需要两个数据 二 平面直角坐标系及有关概念二 平面直角坐标系及有关概念 1 平面直角坐标系 在平面内 两条互相垂直且有公共原点的数轴 组成平面直角坐标系 其中 水平的 数轴叫做 x 轴或横轴 取向右为正方向 铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴 取向上为正方向 x 轴和 y 轴统称坐标轴 它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点 建立了直角坐标系的平 面 叫做坐标平面 2 为了便于描述坐标平面内点的位置 把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分 分 别叫做第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 注意 x 轴和 y 轴上的点 坐标轴上的点 不属于任何一个象限 3 点的坐标的概念 对于平面内任意一点 P 过点 P 分别 x 轴 y 轴向作垂线 垂足在上 x 轴 y 轴对应的数 a b 分别叫做点 P 的横坐标 纵坐标 有序数对 a b 叫做点 P 的坐标 点的坐标用 a b 表示 其顺序是横坐标在前 纵坐标在后 中间有 分开 横 纵坐标的位置不能颠倒 平面内点的坐标是有序实数对 当a b时 a b 和 b a 是两个不同点的坐标 平面内点的与有序实数对是一一对应的 4 不同位置的点的坐标的特征 1 各象限内点的坐标的特征 点 P x y 在第一象限 x 0 y 0 点 P x y 在第二象限 x 0 y 0 点 P x y 在第三象限 x 0 y 0 点 P x y 在第四象限 x 0 y 0 2 坐标轴上的点的特征 点 P x y 在 x 轴上 y 0 x 为任意实数 点 P x y 在 y 轴上 x 0 y 为任意实数 点 P x y 既在 x 轴上 又在 y 轴上 x y 同时为零 即点 P 坐标为 0 0 即原点 3 两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P x y 在第一 三象限夹角平分线 直线 y x 上 x 与 y 相等 点 P x y 在第二 四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数 4 和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同 5 关于 x 轴 y 轴或原点对称的点的