2020学年度第二学期高二数学（理科）第一次月考试题(时间：120分钟满分：150分)注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1若函数，则（ ）A B C D2复数等于（ ） ABCD 3已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）A B C D4设复数 (i是虚数单位)，则复数的虚部是（ ）A B C D5是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6 设 ，则的值为A3 B C D27过函数图象上点O（0，0）作切线，则切线方程为 （ ）A B C D8函数的递增区间是（ ）A B C D 9由抛物线与直线所围成的图形的面积是（ ）A4 B C5 D10函数在内有极小值,则实数的取值范围是（ ）A B C D11已知在(，1)上单调递增，则的取值范围是()A 3 D 312设函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )A B C D第II卷（非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13定积分的值为_14函数，已知在时取得极值，则 15已知点在曲线上，如果该曲线在点处切线的斜率为，那么_.16设，当时，恒成立，则实数的取值范围为 。三、解答题(本大题共6小题，共70分；其中17题10分，其他每道大题12分)17实数m取什么数值时，复数分别是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？18已知函数在与处都取得极值（1）求的值；（2）求函数的单调区间。19己知函数( I)求函数f(x)的极值；(II)求函数f(x)在0,2上的最大值。20设函数（其中）.（）当时,求函数在时的切线方程;（）求函数的极值.21设 （1）求的最小值；（2）证明：.22已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）记的导函数为，若不等式在区间上恒成立，求的取值范围；参考答案1B【解析】试题分析：因为，所以则.故选B.考点：导数的基本运算.2D【解析】试题分析：考点：复数的运算3D【解析】观察可知导函数图像由正变负，则原函数应先递增，后递减，故选择D.方法点睛：辨识函数图像与导数图像主要是依据利用导数研究函数的单调性，当函数在区间上满足，则在区间上单调递增，当函数在区间上满足，则在区间上单调递减.4A【解析】由，得，故其虚部为，故选A.5C【解析】分析：首先根据复数的运算法则，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，将其化简，从而得到复数的实部和虚部，之后借助于其在复平面内对应的点的坐标的符号判断得出结果.详解：因为，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为，所以该复数在复平面内对应的点在第三象限，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的概念和计算，以及复数在复平面内对应的点的坐标的形式，从而求得结果，属于基础题.6B【解析】解：因为，则，选B7A【解析】函数，导函数，时，所求切线斜率为，所求切线方程为，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.8C【解析】解：因为，因为x0那么利用导数的正号和负号，就可以判定单调增区间即为使得导数大于零的解集。9B【解析】分析：先把直线方程和抛物线方程联立求得交点坐标，进而用定积分的知识求得图中阴影部分的面积详解：解得x=1，y=1或x=4，y=2，即交点坐标为（1，1），（4，2）图中阴影部分的面积是.故选：B点睛：本题主要利用定积分计算曲边图象的面积，属于基础题10D【解析】试题分析：，当，所以函数单调递增，所以函数单调递减，所以函数单调递增，所以函数的极小值点为，解得考点：本题考查极值问题点评：解决本题的关键是求导判断单调性先增再减再增，求得极小值点11B【解析】试题分析：先求函数f（x）的导数，然后根据f（x）=3x2-a0在R上恒成立即可得到答案解：f（x）=x3-axf（x）=3x2-a，f（x）在R上单调递增f（x）=3x2-a0在R上恒成立 即a3x2在(，1)上恒成立，a小于等于3x2的最小值即可a3，故选B考点：利用导数研究函数的单调性点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减12B【解析】【分析】先求得函数的定义域，对函数求导，利用其导函数有两个零点，结合判别式以及二次函数的零点分布情况，求得的取值范围.【详解】的定义域为.，令其分子为，在区间上有两个零点，故，解得，故选B.【点睛】本小题主要考查已知函数的极值点个数来求解析式中参数的取值范围，考查二次函数零点分布有关问题的求解策略.属于中档题.有关函数极值点问题，首先要求得函数的定义域，在定义域的范围内来研究.对函数求导并通分后，根据通分后所得二次函数中所含参数的位置，结合二次函数对称轴以及零点位置，来求得参数的取值范围.13【解析】根据定积分的定义知，故填.145【解析】略15 【解析】求导得： 根据题意有：，解得.所以.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为16【解析】试题分析：，根据导数知识易求时，又当时，恒成立，考点：本题考查了导数的运用点评：解决此类问题通常有以下两种思路； 17（1）；（2）；（3）.【解析】本试题主要是考查了复数的概念的运用。先求解实数和虚数以及纯虚数的前提下各个参数m的取值问题。注意虚数虚部不为零，虚部为零是实数，实部为零，虚部不为零是纯虚数，因此可知结论。解：(1)当，即时，复数z是实数；4分(2)当，即时，复数z是虚数；8分(3)当，且时，即时，复数z是纯虚数.12分18（1），的减区间为，增区间为，；试题解析：（1），由题意得：即，解得，令，解得，令，解得或的减区间为，增区间为，19（I）极大值，极小值；（II）最大值【解析】分析：( I) 求导数得到函数的单调性，然后可得极值(II)结合函数的单调性求得在区间0,2上的极值和端点处的函数值可得结论详解：( I)，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为（II）由( I)知，在上单调递减，在上单调递增，又在0,2最大值为点睛：求函数的极值时首先要判断出函数的单调性，结合单调性可得到函数的极值；求最值时也要在函数单调性的基础上，通过求出函数的极值和区间的端点值，比较大小后可得所求20（1）（2）当时,函数无极值,当时,函数在处取得极小值,无极大值.【解析】试题分析：将代入，算出时的切线方程求导，讨论当时、当时的极值情况解析：（）定义域为,时, , ,所以切线方程为;（）,定义域为,当时, ,函数在上为增函数,此时函数无极值;当时,令,解得,当时, ,当时, ,所以函数在处取得极小值,且极小值为,无极大值,综上,当时,函数无极值,当时,函数在处取得极小值,无极大值.21（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，求得，利用导数得到函数的单调性，进而求解函数的最小值；（2）由，令，利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可得到证明.【详解】（1）所以当x(0，)时，0，f(x)单调递减；当x(，)时，0，f(x)单调递增所以x时，f(x)取得最小值f()1 （2）x2x2lnxf(x)x(x1)2(x1)lnx(x1)(x2lnx)， 令g(x)x2lnx，则10，所以g(x)在(0，)上单调递增，又因为g(1)0，所以当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0， 所以(x1)(x2lnx)0，即f(x)x2x2lnx【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）当时，得到函数的解析式，求得，求得的值得出直线的斜率，利用到时几何意义，即可求解切线的方程；（2）依题意，不等式在区间上恒成立，即对任意实数恒成立，令，分类讨论得到函数的单调性和最值，即可求解；【详解】（1）当时， (其中)，所以，. 所以，曲线在点处的切线方程为，即. （2）由，得 (). 依题意，知对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立. 令（），所以.（） 当时，此时函数在上单调递增，所以， 所以，时，符合题意.当时，令，得(舍去).所以，当时，此时函数在单调递减，所以，此与题意相矛盾， 所以，不符合题意. 综上所述，所求实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的