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轴对称全章复习与巩固(提高)【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形,理解轴对称的基本性质及它们的简单应用;2. 了解垂直平分线的概念,并掌握其性质;3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念,并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【高清课堂:轴对称复习,本章概述】知识点一:轴对称1.轴对称图形和轴对称(1)轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.(2)轴对称定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质:关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形;如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.(3)轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的.联系:如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.知识点二:作轴对称图形 1.作轴对称图形(1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形;(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点(,)关于轴对称的点的坐标为(,);点(,)关于轴对称的点的坐标为(,);点(,)关于原点对称的点的坐标为(,).知识点三:等腰三角形 1.等腰三角形(1)定义:有两边相等的三角形,叫做等腰三角形.(2)等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”;等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”).特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45.(3)等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等 边”).2.等边三角形(1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形.(2)等边三角形性质:等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60.(3)等边三角形的判定: 三条边都相等的三角形是等边三角形; 三个角都相等的三角形是等边三角形; 有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图,由四个小正方形组成的田字格中,ABC的顶点都是小正方形的顶点在田字格上画与ABC成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包含ABC本身)共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C;【解析】先把田字格图标上字母如图,确定对称轴找出符合条件的三角形,再计算个数HEC与ABC关于CD对称;FDB与ABC关于BE对称;GED与ABC关于HF对称;关于AG对称的是它本身所以共3个【点评】本题考查了轴对称的性质;确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键举一反三:【变式】如图,ABC的内部有一点P,且D,E,F是P分别以AB,BC,AC为对称轴的对称点若ABC的内角A70,B60,C50,则ADBBECCFA( )A.180 B.270 C.360 D.480【答案】C;解:连接AP,BP,CP,D,E,F是P分别以AB,BC,AC为对称轴的对称点ADBAPB,BECBPC,CFAAPC,ADBBECCFAAPBBPCAPC3602、已知MON40,P为MON内一定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当PAB的周长取最小值时,求APB的度数. 【答案与解析】解:分别作P关于OM、ON的对称点,连接交OM于A,ON于B.则PAB为符合条件的三角形.MON40 140. PAB,PBA. (PABPBA)APB140PABPBA2APB280 PAB, PBA180 APB100【点评】求周长最小,利用轴对称的性质,找到P的对称点来确定A、B的位置,角度的计算,可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.举一反三:【变式】如图,在五边形ABCDE中,BAE120,BE90,ABBC,AEDE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得AMN的周长最小时,则AMNANM的度数为( )A100 B110 C 120 D 130【答案】C;提示:找A点关于BC的对称点,关于ED的对称点,连接,交BC于M点,ED于N点,此时AMN周长最小. AMNANM180MAN,而2BAMAMN,2EANANM,BAMEANMAN120,所以AMNANM120.3、如图,ABC关于平行于轴的一条直线对称,已知A点坐标是(1,2),C点坐标是(1,4),则这条平行于轴的直线是()A.直线1 B.直线3 C.直线1 D.直线3【答案】C;【解析】解:由题意可知,该条直线垂直平分线段AC又A点坐标是(1,2),C点坐标是(1,4)AC6点A,C到该直线的距离都为3即可得直线为1【点评】根据题意,可得A、C的连线与该条直线垂直,且两点到此直线的距离相等,从而可以解出该直线 举一反三:【变式1】如图,若直线经过第二、四象限,且平分坐标轴的夹角,RtAOB与Rt关于直线对称,已知A(1,2),则点的坐标为()A.(1,2) B.(1,2) C.(1,2) D.(2,1)【答案】D;提示:因为RtAOB与Rt关于直线对称,所以通过作图可知,的坐标是(2,1)【高清课堂:轴对称复习:例10】【变式2】如图,ABC中,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(4,3),点B的坐标为(3,1),如果要使ABD与ABC全等,求点D的坐标 【答案】解:满足条件的点D的坐标有3个(4,1);(1,1);(1,3).类型二、等腰三角形的综合应用4、如图所示,在RtABC中,ABAC,A90,点D为BC上任一点,DFAB于F,DEAC于E,M为BC的中点,试判断MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论【答案与解析】解:MEF是等腰直角三角形证明如下:连接AM,M是BC的中点,BAC90,ABAC,AMBCBM,AM平分BACMACMABBAC45ABAC,DEAC,DFAB,DEAB,DFACBAC90,四边形DFAE为矩形DFAEDFBF,B45BDFB45BFFDAEBFAEMBFM(SAS)EMFM,AMEBMFAMFBMF90,AMEAMFEMF90,MEF是等腰直角三角形【点评】根据已知,利用SAS判定AEMBFM,从而得到EMFM;根据角之间的关系可求得EMF90,即MEF是等腰直角三角形 5、已知,如图,112,236,348,424. 求的度数【答案与解析】ACD123B5E解:将沿AB翻折,得到,连结CE,则,1512.6048又236,72,BEBC为等边三角形. 又垂直平分BCAE平分30ADB30【点评】直接求很难,那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形,从而使其换个位置,看看会不会容易求举一反三:【变式】在ABC中,ABAC,A80,D为形内一点,且DABDBA10,求ACD的度数.【答案】解:作D关于BC中垂线的对称点E,连结AE,EC,DE ABDACE ADAE, DABEAC10 A=80,DAE60,ADE为等边三角形AED60 DABDBA10 ADBDDEEC AEC160, DEC140 DCE20 ACD30类型三、等边三角形的综合应用6、如图所示,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,DMN为等边三角形(1)如图(1)所示,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上? (2)如图(2)所示,当点M在BC上时,其他条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图(2)证明;若不成立,请说明理由【答案与解析】解:(1)ENMF,点F在直线NE上 证明:连接DF,DE, ABC是等边三角形, ABACBC 又 D,E,F是ABC三边的中点, DE,DF,EF为三角形的中位线 DEDFEF,FDE60又MDNNDFMDF,NDFFDENDE,DMN为等边三角形,DMDN,MDN60 MDFNDE 在DMF和DNE中, DMFDNE, MFNE,DMFDNE.DMF60DNEMFNMFN60FNAB,又EFAB,E、F、N在同一直线上. (2)成立证明:连结DE,DF,EF, ABC是等边三角形, ABACBC 又 D,E,F是ABC三边的中点, DE,DF,EF为三角形的中位线 DEDFEF,FDE60 又MDFFDN60,ND
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