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2.5 特征值与特征向量教学目标1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义。2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量。3.利用矩阵A的特征值、特征向量给出An简单表示。考纲要求:二阶矩阵的特征值与特征向量(B级)教学过程:一、预习阅读教材,解答下列问题:问题:已知伸压变换矩阵M=, 向量=和=在M对应的变换作用下得到的向量和分别与有什么关系? 对伸压变压矩阵N=呢?归纳:特征值与特征向量定义:设是一个二阶矩阵,如果对于实数,存在一个非零向量,使得, 那么称为的一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向量.特征向量的几何意义:特征向量的方向经过变换矩阵的作用后,保持在同一条直线上,这时特征向量或者方向不变(),或者方向相反(),特别地,当时,特征向量就变成了零向量.二、建构数学特征值与特征向量求解1. 特征多项式设是二阶矩阵的一个特征值,它的一个特征向量为,则,即满足二元一次方程组,(*)由特征向量的定义知,因此不全为0,即要上述二元一次方程组有不全为0的解,则必须有,即,把行列式称为的特征多项式.2. 特征值与特征向量求解方法()写出矩阵的特征多项式;()求方程的根,即为矩阵特征值;()将的值代入二元一次方程组,得到特征向量.注: 如果向量是属于的特征向量, 那么t(tR , t0)也是属于的特征向量.三、例题讲解例1求矩阵A= 的特征值和特征向量。怎样从几何直观的角度加以解释?例2已知矩阵 ,向量=,试验证下列等式成立: ()=;对任意实数,有()=。有了特征值和特征向量的知识,就有,。从而可以方便计算多次变换的结果,一般地, 设、是二阶矩阵的两个不同特征值,、是矩阵的分别属于特征值、的特征向量,即,对于平面上任意一个非零向量,设,则;,例3.已知M,试计算。四、课堂练习1矩阵的特征值_,对应的特征向量为_2求下列矩阵的特征值和特征向量(1);(2)3试说明矩阵没有特征值和特征向量,并给出几何解释四、小结:特征值与特征向量作业1.说明矩阵 没有实数特征值和特征向量.2.求矩阵的特征值和特征向量.3.求投影变换矩阵的特征值和特征向量,并计算的值,解释它的几何意义。4.若矩阵有特征向量i =和j =, 且它们所对应的特征值分别为 . (1)求矩阵及其逆矩阵 ; (2)求逆矩阵的特征值及特征向量.
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