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江苏省淮安市2020学年度高二数学下学期期末质量调研试卷本卷满分160分,考试时间120分钟 命题人:韩怀兵一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,计50分,每小题有四个选项,其中只有一项是符合题意的,请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置)1、的值为 ( B )A61 B62 C63 D642、已知ABC,A(1,1),B(3,1),C(3,3),经过矩阵所对应的变换,得到的三角形面积是 ( D )A B C1 D23、一只弹簧称,如果1kg力能拉长弹簧1cm,在弹性限度内,将弹簧拉长6cm,所耗费的功(单位)为 ( A )A0.18 B0.26 C0.12 D0.28 4、已知=(+1,0,2),=(6,1,),若,则与的值分别为 ( A )A, B, C5,2 D5,25、给出下列命题:若,则是纯虚数;复数的几何意义是将向量绕原点O逆时针旋转90;若是纯虚数,则实数=1;若=1,则复数z 一定等于1.其中,正确命题的序号是 ( B )A B C D6、已知随机变量,若,则,分别是 ( B )A1.2和0.36 B6.8和0.36 C6.8和7.64 D6.8和63.647、在的展开式中,系数是有理数的项的项数是 ( D )A1 B2 C3 D4 8、有三双鞋(仅在颜色上不同),左脚的鞋均放在甲箱中,右脚的鞋均放在乙箱中,现每次从甲乙两箱中分别取一只,刚好三次均能配对的概率是 ( C )A B C D9、如图,梯形ABCD中ABCD,AB=2CD,点O为空间任意一点,设,则向量用,表示为 ( D )ODCBA第9题图A+2 B2 C+ D+10、若N(0,1),且令,则下列等式:; =; ;. 其中正确的有 ( B )A B C D第13题图二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置)11、复数的共轭复数是.12、某停车场一排有9个泊车位,现有3辆小轿车(每辆占一个泊位)要停泊,若要求这三辆小轿车相互之间至少空两个泊车位,以便停泊大型客车,则这三辆小轿车有_60_种停泊方法.13、图中由函数y=f(x)图象与x轴围成的阴影部分面积,用定积分可表示为. 注:本题答案也可以写成.14、已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点M在直线OC上运动,当 取最小值时,点M的坐标为. 15、甲要给乙发送一个数字信息“a11a21a12a22”,双方约定利用左乘矩阵转换为密码发送,现在乙得到密码是4,12,32,64,那么甲发送给的数字信息是_2020_.12DCBAHGFE16、将图1中面积为1313=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形,然后重新拼接成图2,通过计算发现“长方形”的面积为821168,显然有问题。请认真观察,寻找出的根源是A、F、G、C并不在一条直线上 . 注:只要表达出类似意思就可以得分。三、解答题(本大题共5题,共80分,要求:除特殊说明外,解答应有相应的过程)17、(本题12分)已知复数z1满足(1+i)z1=1+5i, z2=a2i,其中i为虚数单位,aR,若|z1|,求a的取值范围.解:由题意得 z1=2+3i, 于是=,=. ,得a28a+70,1a20); (2) 若甲第一次抽得白球,则他在剩下的摸球机会中获得奖金的数学期望是多少? 解:(1)P(X=0)=,P(X=20)=,所以P(X20)=1P(X=0)P(X=20)= (2)记甲在剩下的摸球机会中获得奖金总额为Y,则P(Y=0)=, P(X=20)= P(Y=40)=,P(Y=50)=,P(Y=70)= 所以E(Y)=0+20+40+50+70=20.9 答:他在剩下的摸球机会中获得奖金的数学期望是20.920、(本题18分)在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AEEBCFFACPPB12(如图1)。将AEF、CFP分别沿EF、PF折起到和的位置,使二面角A1EFB和C1PFB均成直二面角,连结A1B、A1P 、EC1(如图2)(1)求证:A1E平面BEP;(2)设正ABC的边长为3,以为正交基底,建立空间直角坐标系.求点C1的坐标; 直线EC1与平面C1PF所成角的大小;C1图1求二面角BA1PF的余弦值.图2解:(1) 在图1中,AEEB=CFFA=12AF=2AE而A=600 , EFAE在图2中,A1EEF, BEEF, A1EB为二面角A1EFB的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角,A1EBE,又 A1E平面BEF,即 A1E平面BEP (2)由题意知,A1(0,0,1),B(2,0,0),F(0,0),过P、C1分别作BE、PF的垂线,垂足为G、H.从而可得P(1,0). C1(,) =(0,0),=(,0,) =0,即EFFC1 而EFPF,所以是平面C1PF的一个法向量, 又cos= = 故直线EC1与平面C1PF所成角为. =(2,0,-1),=(-1,0),设平面A1BP的一个法向量为=()于是有,取=1,得=(1,2).同理可求得平面A1PF的一个法向量=(0, 1,)cos=,所求二面角与这个夹角互补,所以二面角BA1PF的余弦值为.注:对于(2)中第问学生不用向量知识做,正确照样给分。21、(本题18分)某同学做了一个数字信号模拟传送器,经过10个环节,把由数字0,1构成的数字信号由发生端传到接受端。已知每一个环节会把1错转为0的概率为0.3,把0错转为1的概率为0.2,若发出的数字信号中共有10000个1,5000个0.问:(1)从第1个环节转出的信号中0,1各有多少个? (2)最终接受端收到的信号中0,1个数各是多少?(精确到十位) (3)该同学为了完善自己的仪器,决定在接受端前加一个修正器,把得到的1和0分别以一定的概率转换为0和1,则概率分别等于多少时,才能在理论上保证最终接受到的0和1的个数与发出的信号同. 解:(1)从第1个环节转出的信号中,0的个数为: 100000.3+50000.8=7000(个) 1的个数为:100000.7+50000.2=8000(个) (2)数字错转的转移矩阵为A=,1和0的个数对应列矩阵,于是最终接受端收到的信号中1,0个数对应矩阵A10,矩阵A的特征多项式为: =令=0,得到A的特征值为1或0.5,将1代入方程组 解得3x2y=0,不妨设x=2,于是得到矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为.同理,把=0.5代入上述方程组得x+y=0,不妨设x=1,可得矩阵A的属于特征值0.5的一个特征向量为. 又设=m+n,于是,求得,所以A10=3000110+40000.510=于是,最终接受端收到的信号中0约有9000个,1约有6000个(3)设修正器的转移矩阵为B=(0s1, 0t1),则题意有 = 于是得到6s9t+4=0 0s1, 0t1 可取s=,t=也就是说1转为0的概率为,0转为1的概率为.注:第(3)问答案不惟一,只要满足方程6s9t+4=0 (0s1, 0t1)的s,t均可。
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