第2章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议合情推理理解结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用演绎推理理解了解演绎推理的重要性，理解演绎推理的基本模式，并能运用演绎推理进行一些简单的推理；了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异二、预习指导1预习目标(1)了解合情推理的含义；能利用归纳和类比等进行简单的推理(2)体会演绎推理的重要性，理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理(3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，体会并认识合情推理、演绎推理在科学发现中的作用2预习提纲(1)实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段通过实验、观察、操作得到的结论常常是正确的，但是仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的回顾八年级(下册)(江苏科学技术出版社)，第十一章图形与证明(一)第125133页，体会：“探索中，丰富对图形的认识”(2)任何推理都包含前提和结论两个部分，_是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，_是根据前提推得的命题，它告诉我们推得的知识是什么(3)从个别事实中推演出一般性的结论，这样的推理通常称为_归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理，是一种具有创造性的推理归纳推理的思维过程为：_(4)根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理通常称为_类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质类比推理的思维过程为：_(5)合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程_和_都是数学活动中常用的合情推理(6)演绎推理是由一般到特殊的推理，在前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确_式推理是演绎推理的主要形式，其常用的格式为_(7)阅读课本第62页的例1，学习归纳推理，会利用归纳进行简单的推理；阅读课本第6566页的例1和例2，学习类比推理，会利用类比进行简单的推理；阅读课本第6869页的例1和例2，学习演绎推理，会利用三段论以及它的简略形式进行简单的推理阅读课本第7276页的推理案例，体会合情推理和演绎推理在数学发现活动中的作用(8)阅读课本第61页至第77页内容，并完成课后练习(9)成立学习小组，去探索、猜测一些数学结论，并与其他小组交流3典型例题(1)任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推得的知识是什么例1 你能说出下列推理案例中的前提和结论吗?4=22；6=33；8=35；10=37=55；12=57；14=311=77；16=313=511；18=513=711；20=317=713；所以任何大于2的偶数都可以表示为两个素数的和狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的所以青蛙是有骨骼的所有的鸟都会飞， 麻雀是鸟 麻雀会飞分析：任何推理都包含前提和结论两个部分，我们要分清这两部分是著名的哥德巴赫猜想，简称“11”，至今没有人能完全证明这个命题解：前提：4=22；6=33；8=35；10=37=55；12=57；14=311=77；16=313=511；18=513=711；20=317=713； 结论：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数的和 前提：狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的 结论：青蛙是有骨骼的前提：所有的鸟都会飞， 麻雀是鸟结论：麻雀会飞 (2)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理、提出带有规律性的猜想，这是数学研究的基本方法之一归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)例2 已知：，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题_；已知：，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_=( * )，并给出( * )式的证明分析：通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法我们要仔细观察，寻找规律，掌握技巧，解决问题解： 若都不是，且，则；一般形式： ，证明： 左边 = = = = = 原式得证(将一般形式写成 ，等均正确)例3 (1)已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式；(2)已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式；(3)已知数列的第1项，且，则_；(4)已知数列满足，()，则的值为 分析： 通常我们会写出数列的前几项，然后寻找其规律，归纳出这个数列的通项公式但归纳不能代替证明，本题的归纳是不完全归纳，我们不能肯定所得的通项公式是否正确事实上，我们可以直接求出数列的通项公式、给我们的启发：对满足型的数列，当时采取取倒数的方法即可得出数列是等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求出数列的通项；、给我们的启发：结构与两角和或差的正切公式相似，这样的数列一定是周期数列解：(1)法1：，一般地有；法2：由得，即，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，则，而，则；(2)法1：，一般地有；法2：由得，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，则，而，则；(3)法1：由于，则，由此归纳出数列是以3为周期的数列，则；法2：，令，则，则(k是整数)，即，而，则，；(4)法1：分别求出、，可以发现，且，故法2：由，联想到两角和的正切公式，设，则有，则，故(3)类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠例4 设N=2n（nN*，n2），将N个数x1,x2,，xN依次放入编号为1,2，N的N个位置，得到排列P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2；当2in-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.(1)当N=16时，x7位于P2中的第_个位置；(2)当N=2n（n8）时，x173位于P4中的第_个位置.分析： 先仔细审题，读懂题意，然后从N的特殊值出发，寻找规律.解： (1)当N=16时,可设为,即为,即, x7位于P2中的第6个位置；(2)方法同(1),归纳推理知x173位于P4中的第个位置.点评: 本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力、创造性解决问题的能力.同学们要在学习中培养自己动脑的习惯，才能顺利解决此类问题.例5 (1)在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：由此得相加，得类比上述方法，请你计算“”，其结果为 _(2)通过计算可得下列等式： 将以上各式分别相加得：即：类比上述求法，请你求出的值分析： 本题是方法的类比，两项积变三项积，二次方变三次方解：(1) (2) 将以上各式分别相加得：所以，(4) 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)例6 在DEF中有余弦定理： 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明分析： 三角形的三条边长对应三棱柱的三个侧面面积，三角形的内角对应三棱柱的两个侧面所成的二面角，根据类比猜想得出斜三棱柱ABC的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式解：斜三棱柱ABC的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式为其中为侧面为与所成的二面角的平面角证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成二面角，在中有余弦定理：，两边同乘以，得即 例7 请将平面内的一般三角形与空间中四面体的性质进行类比分析： 我们经常将二维平面内的三角形与三维空间中的四面体作为类比对象有兴趣的同学可以将得到的四面体的性质一一证明解：三角形四面体三角形两边之和大于第三边；四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆的圆心；四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心；三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半；四面体任意三条棱的中点连成的三角形所在的平面平行于第四个面，且该三角形的面积等于第四个面面积的；三角形的任何一条边上的中线将三角形分成面积相等的两部分；四面体的任何一个三角形面上的一条中线和这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四面体分成体积相等的两部分；三角形的三条中线交于一点，且三角形的每一条中线被该点分成的两段的比为2：1；将四面体的每一个顶点和对面的重心相连接，所得四条线段交于一点，且其中每一条线段被交点分成的两段的比都是3：1；在ABC中，的平分线交BC于D，则；在四面体ABCD中，二面角CABD的平分面交棱CD于点E，则，；在ABC中，(正弦定理)；在四面体ABCD中，棱AB与面ACD、BCD所成的角分别，则；设ABC的三边长分别为、，ABC的面积为，内切圆半径为，外接圆半径为，则(1)(2)四面体SABCD的四个侧面的面积分别为，内切球的半径为，外接球的半径为，则(1)(2)(5)演绎推理是由一般到特殊的推理，在前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论据一般原理，对特殊情况做出的判断三段论的基本格式：MP(M是P) (大前提)SM(S是M) (小前提)SP(S是P)(结论)例8 请看以下3个推理：所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电；一切奇数都不能被2整除，(2100