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南康中学2020学年度第二学期高二第二次大考数学(理科)试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设,则在复平面对应的点位于第 ()象限A一 B二 C三 D四2“”是“”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3曲线在处的切线的倾斜角是( )A B C D 4. 二项式的展开式的常数项为( )A -5 B5 C. -10 D105. 用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中偶数共有 ( )A36个 B.72 C.48 D.606函数的大致图像为( )7. 已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别为 为椭圆上一动点, 面积的最大值为,则椭圆的离心率为( )A. B.1 C. D. 8. 已知中,则为( )A等腰三角形B的三角形C等腰三角形或的三角形D等腰直角三角形9. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A. B. C. D. 10.某四棱锥的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形,则该四棱锥的体积为 ( )A2 B C. D11. 已知双曲线(,)的两条渐近线与抛物线()的准线分别交于,两点,为坐标原点,若双曲线的离心率为,的面积为,则的外接圆半径为( )ABC2D12. 已知函数.若过点存在3条直线与曲线相切,则的取值范围为( )A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则至少选中一名男生的选法种数是_14. 如图所示,在正方形内,随机投入一个质点,则所投质点恰好落在与轴及抛物线所围成的区域内的概率是_ 15. 已知,,则与的值分别为_16.已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称为“一阶比增函数”;若在上为增函数,则称为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为若函数,且,则实数的取值范围是_三、解答题 (共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本题满分10分)已知函数,.(1)若a4,求的单调区间;(2)若在处取得极值,直线与的图象有三个不同的交点,求的取值范围18.(本题满分12分)在等差数列an中,a13,其前n项和为Sn,等比数列bn的各项均为正数,b11,公比为q(q1),且b2S212,q.(1)求an与bn;(2)证明: b0)的两焦点在x轴上,且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程;(2)动直线l:交椭圆C于A,B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点Q,使得以线段AB为直径的圆恒过点Q?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。22. (本题满分12分)已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若对于任意,恒有成立,试求的取值范围南康中学2020学年度第二学期高二第二次大考数学(理科)参考答案一、选择题:1-5DBCBD 5-10AACBD 11-12CB12. 解析 设函数上任意一点,在点处的切线方程为,即.若过点,则依题意,方程有三个不等实根. 令,得,.当时,函数在上单调递减;当时,函数在上单调递增.因此的极小值为,极大值为.若有三个不等实根,故.二、填空题:13.7 14. 15. 6,35 16. 三、解答题:17.解:当或时,当时,所以的单调递增区间是和,的单调递减区间是因为f(x)在x1处取得极值,所以f(1)3(1)23a0,所以a1.所以f (x)x33x1,f(x)3x23.由f(x)0,解得x11,x21.由(1)中f(x)的单调性,可知f(x)在x1处取得极大值f(1)1,在x1处取得极小值f(1)3.因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点,又f(3)191,结合f(x)的单调性,可知m的取值范围是(3,1)18. 解(1)设an的公差为d,因为所以解得q3或q4(舍),d3.故an33(n1)3n,bn3n1(2)证明:因为Sn,所以.故.因为n1,所以,即0,x1x2,x1x2,8分(x1,y11),(x2,y21),x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2(x1x2)(1k2)0,10分,即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1). 12分22.解析:(1)函数的定义域为,当时,函数在上单调递减,在上单调递增;当时,函数在上单调递增,在上单调递减;当时,函数的上单调递增;当时,函数在上单调递增,在上单调递减(2)恒成立,即恒成立,不妨设,因为当时,在上单调递减,则,可得,设,对于任意的,恒成立,在上单调递增,在上恒成立,在上恒成立,即在上恒成立,当时, 只需在上恒成立,即在上恒成立,设,则,故实数的取值范围为
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