双曲线的简单的几何性质 第一课时 2012年12月18日 曲线 性质 方程 范围 对称性 图形 顶点 离心率 椭圆 e越大 椭圆越扁e越小 椭圆越圆 椭圆的简单几何性质 关于轴和轴对称 关于原点对称 研究双曲线的简单几何性质 1 范围 由双曲线的标准方程得 2 对称性 关于x轴 y轴和原点对称 x轴 y轴是双曲线的对称轴 原点是对称中心 又叫做双曲线的中心 用代替 方程 即曲线关于对称 用代替 方程 即曲线关于对称 同时用 代替 方程不变 即曲线关于对称 以焦点在轴上的方程进行研究 不变 不变 原点 3 顶点 双曲线与对称轴的交点 叫做双曲线的顶点 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 当时 则所以是双曲线的两个顶点 当时 则于是与轴无交点 所以不是双曲线的顶点 叫虚轴 长为 叫实轴 长为 2a 2b 4 渐近线 渐近线的演示 思考 渐近线是双曲线特有的几何质 它与曲线的点有怎样的位置关系 渐近线的斜率又与曲线的形状有怎样的关系呢 双曲线上的点向外延伸时 与这两条渐近线逐渐接近 渐近线的斜率的绝对值越大时 曲线的开口越大 反之亦然 由双曲线的对称性知 我们只需证明第一象限的部分即可 下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时 与直线逐渐靠拢 方案2 考查同横坐标的两点间的距离 方案1 考查点到直线的距离 利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 3 4 例如 画双曲线的草图 5 离心率 e是表示双曲线开口大小的一个量 e越大开口越大 e 1 思考 离心率的大小对曲线形状有何影响 用代数方法证明 当越大时 也越大 所以曲线的开口越大 反之也成立 演示板 标准方程 图形 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 关于x轴 y轴对称 原点对称 根据对双曲线性质的研究 请完成下表 越大 开口越大越小 开口越小 越大 开口越大越小 开口越小 e越大 开口越大e越小 开口越小 e越大 开口越大e越小 开口越小 关于x轴 y轴对称 原点对称 试写出双曲线与的几何性质 标准方程 图形 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 对称轴 x轴 y轴中心 原点 对称轴 x轴 y轴中心 原点 实轴 虚轴长 实轴长为8 虚轴长为6 实轴长为8 虚轴长为6 尝试练习 求适合下列条件的双曲线的标准方程 解 小结 本节课所研究的双曲线的几何性质有哪些 1 焦点在不同的轴上时的标准方程不同 所以渐近线 焦点坐标 顶点坐标也不同 2 根据几何性质求双曲线方程时需先定位再定值 1 双曲线的范围 对称性 顶点 离心率 渐近线2 渐近线与曲线的位置关系3 离心率的大小与曲线开口大小的关系 需要注意的问题