第三章基本体与曲面的投影 表面都是平面的立体称为平面立体 如棱柱和棱锥表面是曲面或曲面和平面的立体 称为曲面立体 如球 圆柱 圆锥 主要讲回转体 视图特征 1 反映底面实形的视图为多边形 2 另两视图均为由实线或虚线组成的矩形 棱柱 直棱柱 侧棱与底面垂直 斜棱柱 侧棱与底面倾斜 正棱柱 底面为正多边形的直棱柱 3 1平面体的投影及其表面上的点与线 正六棱柱三面投影图 六棱柱的投影图 棱柱表面上的点 棱柱表面上的点 棱柱表面上的点 棱柱表面上的点 4种工程形体的投影 视图特征 1 反映底面实形的视图为多边形 三角形的组合图形 2 另两视图均为三角形 棱锥 正棱锥 底面为正多边形 顶点过底面中心垂线的棱锥体 三棱锥的投影图 棱锥的投影 棱锥的投影 棱锥表面上的点 棱锥表面上的点 辅助线法 棱锥表面上的点 棱锥表面上的点 视图特征 1 反映底面实形的视图为两个相似多边形和反映侧面的几个梯形 2 另两视图均为梯形 或梯形的组合图形 棱台 棱台可看成是由棱锥用平行于锥底面的平面截去锥顶而形成的形体 上 下底面为各对应边相互平行的相似多边形 侧面为梯形 3 3求立体表面上点 线的投影 1 位于棱线或边线上的点 线上定点法 当点位于立体表面的某条棱线或边线上时 可利用线上点的 从属性 直接在线的投影上定点 这种方法即为线上定点法 亦可称为从属性法 2 位于特殊位置平面上的点 积聚性法 当点位于立体表面的特殊位置平面上时 可利用该平面的积聚性 直接求得点的另外两个投影 这种方法称为积聚性法 3 位于一般位置平面上的点 辅助线法 当点位于立体表面的一般位置平面上时 因所在平面无积聚性 不能直接求得点的投影 而必须先在一般位置平面上做辅助线 辅助线可以是一般位置直线或特殊位置直线 求出辅助线的投影 然后再在其上定点 这种方法称为辅助线法 3 3 1平面立体上点和直线的投影 例3 1 如图所示 M N分别是立体表面上的两个点 已知M点的正面投影m N点的水平投影n 试求点M N的另外两面投影 例3 2 如图所示 已知立体表面上直线MK的正面投影m k 试作直线MK的水平投影mk和侧面投影m k a 已知条件 b 作图方法 例3 3 如图所示 已知立体表面点K的正面投影k 试求其水平与侧面投影k k a 已知条件 b 一般位置直线作为辅助线 c 特殊位置直线作为辅助线求k点的投影求k点的投影 3 3求立体表面上点 线的投影 1 线上定点法 从属性法 当点或线位于曲面立体的轮廓素线上时 可利用 线上定点 从属性 法 求解 2 积聚性法 当点或线所在的立体表面有积聚性时 可利用 积聚性法 求解 3 辅助素线或辅助纬圆法 当点或线所在的曲面立体表面无积聚性时 则必须利用 辅助线法 求解 如位于圆锥 圆台 的锥面上的点或线 可利用辅助素线或辅助纬圆法 而位于圆球的球面上的点或线可利用辅助纬圆法 3 3 2曲面立体上点和直线的投影 例3 4 如图所示 已知立体表面上的点K的正面投影k 求其另外两面的投影k k a 已知条件 b 作图方法 例3 5 如图所示 已知圆柱表面上线段AB的正面投影a b 求其另外两面上的投影 a 已知条件 b 作图方法 例3 6 如图所示 已知圆锥上点K的正面投影k 求其另两面上的投影 a 已知条件 b 作图方法 常见的曲面体多是回转体 如圆柱 圆锥 圆球 圆环等 回转面 有一条母线 直线或曲线 绕固定轴线回转而成的曲面 素线 在回转面上每一个位置的母线 回转体 由回转面或回转面与平面所围成的体 3 2曲面立体的投影 曲面立体的投影 所有表面的投影 也就是曲面立体的轮廓线 尖点的投影以及曲面立体的转向轮廓线 转向轮廓线 常常是曲面的可见投影与不可见投影的分界线母线 某些曲面可看作一条线按一定规律运动所形成 这条线称为母线 曲面上任一位置的母线称为素线 回转体 母线绕轴旋转 形成回转面 由回转面或回转面与平面所围成的立体为回转体 3 2曲面立体的投影 一 圆柱的投影 圆柱由圆柱面和两个底面所围成 圆柱可看作是由一个矩形平面绕着它的一条边回转而成 圆柱面可看作由直线绕与它相平行的轴线旋转而成 圆柱 视图特征 1 反映底面实形的视图为圆 2 另两视图均为矩形 分析圆柱轮廓素线的投影 轮廓素线 构成圆柱面投影的轮廓线 对某投影面的可见与不可见部分的分界线 回转面上外形轮廓线 1 圆柱的投影 圆柱的投影 圆柱的投影 圆柱的投影 2 圆柱表面上的点 圆柱表面上的点 圆柱表面上的点 圆柱表面上的点 例求回转体表面上的点与线 1 作圆柱左视图 2 作特殊点A 3 作一般点B 4 作一般点CD 圆锥可看作是由一个直角三角形绕其直角边回转而成 圆锥由圆锥面 底面所围成 圆锥面可看作由直线绕与它相交的轴线旋转而成 圆锥 视图特征 1 反映底面实形的视图为圆 2 另两视图均为等腰三角形 圆锥的投影 圆锥的投影 圆锥的投影 圆锥的投影 圆锥的投影 圆锥表面上的点 圆锥表面上的点 圆锥表面上的点 圆锥表面上的点 圆锥表面上的点 求解过程 已知条件 1 作圆锥左视图 2 作特殊点A 3 作一般点B 用辅助平面法 4 作一般点B 用素线法 例圆锥表面上点的求法 圆台 圆锥被垂直于轴线的平面截去锥顶部分 剩余部分称为圆台 其上下底面为半径不同的圆面 视图特征 1 与轴线垂直的投影面上的投影为两个同心圆 2 另两视图均为等腰梯形 三 圆球的投影 圆球的投影 圆球的投影 圆球的投影 圆球的投影 圆球表面上的点 圆球表面上的点 圆球表面上的点 圆球表面上的点 1 作球体左视图 2 作特殊点A B 3 作一般点C 用辅助平面法 4 判别可见性 光滑连线 求解过程 已知条件 例圆球表面上的点 练习1 练习2 练习3 练习4 练习5 3 3曲面的投影 一 曲面的形成和分类 曲面分为规则曲面和不规则曲面 规则曲面可以看成是运动的线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹 运动的线称为母线 曲面上任意位置的母线称为素线 控制母线运动的线或面 称为导线或导面 由直母线运动生成的曲面称为直纹面 例如圆柱面 圆锥面 只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面 例如球面 曲面的形成和分类 根据母线运动时有无旋转轴 曲面可以分为旋转面和非旋转面 在旋转面中 由直母线旋转生成的叫旋转直纹面 由曲母线旋转生成的叫旋转曲线面 平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线 形成投射平面或柱面 它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面外形轮廓线 简称外形线 曲面在某个投影面上的投影 可以用该投射方向上外形线的投影来表示 此外 有时还需同时画出曲面上若干条素线 曲面的投影 曲面的投影 外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界线 曲面上点的投影在曲面的同面投影上 这里讨论的问题是 已知曲面的投影 根据曲面上点的一个投影如何求出它的其余投影 与平面上定点类似 这里也要借助于辅助线 曲面上选用的辅助线 其投影应为直线或圆 对于直纹面 可选用其直的素线为辅助线 用这种方法求点的投影称为素线法 对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线 用这种方法求点的投影称为纬圆法 在圆锥面上用素线法和纬圆法求点的投影的例子 直纹面分为旋转直纹面和非旋转直纹面 圆柱面 圆锥面 旋转单叶双曲面等属于旋转直纹面 切线面 双曲抛物面 锥状面 柱状面等属于非旋转直纹面 二直纹面 1 柱面 直母线l沿着一条导曲线运动 且始终平行于某一固定方向T 这样形成的曲面称为柱面 柱面的所有素线均互相平行 画柱面的投影时需画出外形线的投影 轮廓素线 在柱面上求点的投影 一般可用素线法 柱面的曲导线一般为平面曲线 柱面是按正截面的形状取名的 正截面是圆时 称为圆柱面 正截面是椭圆时 称为椭圆柱面 等等 如果柱面有两个以上的对称平面 则对称平面的交线称为柱面的轴 下面是几种有轴柱面的投影 续 2 锥面 直母线沿着一条曲导线C运动 且始终通过定点S 这样形成的曲面称为锥面 S称为锥顶 所有的素线都通过它 在投影图上 应画出锥顶 导曲线和锥面外形线的投影 在锥面上作点 一般利用素线法 当用投影面平行面能截出圆形交线时 也可以用纬圆法作点 下面是几种有轴的锥面 续 3 切线面 直母线l沿着一条曲导线C运动 且始终与C相切 这样形成的曲面称为切线面 曲导线C是空间曲线 称为切线面的脊线 工程中弯曲坡道两侧的边坡往往设计成切线面 并且使切线面的所有切线与地面成同一角度 这样设计成的切线面称为同坡曲面 续 直母线l沿着两条交叉直导线AB CD运动 且始终平行于某一导平面Q 这样形成的曲面称为双曲抛物面 工程上也称扭面 双曲抛物面的投影图中 只需画出两条直导线和若干素线的投影 而不必画出导平面 4 双曲抛物面 水渠边坡渐变段 道路边坡过渡段 双曲抛物面在工程上有广泛的用途 对于同一个双曲抛物面 也可以把它看作是以AD BC为交叉直导线 以平行于端点连线AB CD的平面P为导平面所形成的 也就是说 双曲抛物面上有两族素线 其中每一条素线与同族的所有素线都不相交 而与另一族的所有素线都相交 续 直母线l沿着一条直导线EF和一条曲导线ABC运动 且始终平行于导平面P P平行于两条导线端点的连线AE和CF 这样形成的曲面称为锥状面 5 锥状面 直母线l沿着两条曲导线运动 且始终平行于某一导平面 这样形成的曲面称为柱状面 柱状面桥墩 柱状面管道 6 柱状面 柱状面的所有素线都平行于导平面 而彼此间则成交叉状态 投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影 而不画出导平面 以正平面为导平面的柱状面管道 直母线绕一条与它交叉的直线OO旋转 这样形成的曲面称为旋转单叶双曲面 直线OO称为旋转轴 7 旋转单叶双曲面 投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影 直母线两端点轨迹的投影 以及素线的包络线 旋转中母线上的每个点都在作圆周运动 其轨迹是纬圆 母线上距轴线最近的点 其轨迹是最小的纬圆 叫喉圆 过旋转单叶双曲面上的每个点 还可以画出另外一条素线 也就是说 同一个旋转单叶双曲面上存在着两族素线 同族的素线间均不相交 而每一条素线都与另一族的所有素线相交 续 分别以圆柱螺旋线和其轴线为导线 直母线l沿此两导线移动而又同时与轴线保持一定的角度 这样形成的曲面称为螺旋面 若母线与轴正交 得到的叫正螺旋面 否则得到的叫斜螺旋面 8 螺旋面 投影图 直观图 正螺旋面 应用实例 螺旋楼梯的作图 塔柱上的螺旋楼梯 在作出螺旋线的正面投影的基础上 首先作一条平行于V面的素线 使其与轴的夹角等于定角 如图中的0 01 自01 起向上量取导程并按水平投影的等分数将其等分 过各分点与螺旋线正面投影上相应点0 1 12 连接 即得螺旋面的素线的正面投影 最后画出素线的包络线 完成螺旋面的正面投影 斜螺旋面 三 曲线面 1 球面 圆绕其任一直径旋转生成球面 所以球面被任一平面截割 其交线均为圆 球的任一正投影也总是圆 圆的直径等于球的直径 在球面上作点 一般用纬圆法 例如已知球上点A的正面投影a 过a 作水平纬圆的正面投影 得纬圆半径ra 在水平投影中以ra为半径画圆 得纬圆的水平投影 a在此圆上 例根据部分球面的正面投影和水平投影 求作侧面投影 并根据球面上A点的正面投影a 和B点的水平投影b 作出其余的投影 解 本题表示的是1 4球面 其侧面投影为一扇形 用纬圆法可求出A和B的其余各投影 圆绕与其共面但不通过圆心的轴线旋转 生成环面 外半圆周生成外环面 内半圆周生成内环面 2 环面 图示环面的正面投影上 画出了轴线和外形线 包括母线上最高 最低点的轨迹及两个反映实形的母线圆的投影 其中内半圆的投影为不可见 水平投影上画出了母线圆的圆心轨迹及外形线 包括母线圆上最外 最内点轨迹圆的投影 在环面上作点 一般用纬圆法 例已知1 4环面上A B两点的正面投影 求其余投影 解 先根据已知投影的可见性 判断点在环面上的部位 作纬圆求出点的相应投影