解无理方程的常用方法常用方法江苏省高金华陆学亮无理方程类型繁多,解法灵活多样,其解题的基本思路,一般是采用”移项,平方”的方法去掉根号,将无理方程转化为有理方程而解之.然而,由于无理方程的结构各具特色,因此解无理方程也应因题而异,机智灵活地选择合适的解法,才能够一举奏效.为此,本文举数例谈谈”平方法”以外的解无理方程的几种常用方法.供参考.一,观察法有些无理方程可直接利用二次根式的性质及不等式的知识,观察方程的解的存在性.例1不解方程,判断下列方程是否有解.(1),/xL4:0:(2),+1=O:(3)V3x+4+,/2-x=O:(4)V3x一4+,/43x=O;(5)x/Tq+,v/x一1=1一,v/5.解:(1)由原方程,得x2-40.x2;(2)移项,得,/3x一2=一1,由算术根的非负性知,原方程无实数解;(3)由方程知3x+4=0且2-x=0应同时成立.这是不可能的,故原方程无解;(4)由3x4=0且4-3x=O得x=;J(5)由/x+1+x/7-1>O,而1一,/5<O知,原方程无解.二,算术根法(算术根定义法)例2解方程xx/x-2=2.解:原方程即x一2x/x2.?.只有0与1的算术平方根等于它本身;.x一2=0或x一2=10.x.=2,X2=3(检验略)例3解方程N/x2x2-2x+l=52x解:原方程可化为:,/(x一1)=52x,则xI=52x.于是有x一1=52x或X一1=2x一5.解之,得:x一,x4.(检验略)三,换元法例4解方程2xL6x一15,/x3x=4.(1994年广州中考题)解:原方程可化为2(X2m3x一1)一5,丽一3=0.令,=yO,则2y.-5y-3=0y,=一1(舍去),y:=3.由,/x一3x一1=3,解得Xl=5,x2=一2.经检验知它们都是原方程的解.四,分母(分子)有理化法解方程=解:将方程左边分母有理化,得(茎二):,(VTg5)一(,/二)化简整理,得V(x+35(x一5)=9一x.两边平方后解之,得x6.(检验略)例6解方程,+,/T:6.解:把方程左边分子有理化,得(二茎(二:6,/卜一,/T.?.,v/1一x一,/13一x=一2(.+得:,/丁=2.两边平方解得:X=一3.(检验略)五,因式分解法例7解方程x一,/x一2=2.解:整理原方程,得x一2一Vx一20.由题义知:x2,则(,/x一2)一,/x一2=O.因式分解,得:,/x一2?(,/x一21)=O.于是有,v/x一2=O,或Vx-2=I;解之,得xj=2,X:=3.(检验略)例8解方程,v/x一,/1一x=12x.解:由题义可知:O<x<l,则0<1x<1.故原方程可化为(,/一,)+【(,/)一(,/1一x)】:O.贝lJ(一/)+(+/二)(一,/_-):O.(,/一,/F)(1-t-,/+,/_-)=O.?.?1+,/>O:.?.一,/=O即=,.解之,得x=.(检验略)二六,配方法例9解方程2x3x+2xx/TCgxTa=21.解:原方程可化为(x-3x+4)+2x”X/x-2-3x+4+x2=25.?.(,/一3x+4+x)=25.口互.c.,万一允解平面几何中添加适当的辅助线,可以拓展思路,化难为易.而如何添加辅助线是十分重要而叉难掌握.为使同学们掌握添加辅助线的河规律,以下介绍几种南常见的方法,自一,巧用中点作刘平行线(或中位线)占当题设条件中题给出三角形一边上中点(或中线)时,常联想到过这一点.作第三边的平行线,利用平行线等分线段定理的推论或构成中位线,有时利用中线,转换题设条件.例1如图1,已知:AD是AABC的中线,E是AD的中点,F是BE的延长线与AC的交点.求证:AF=FC.分析:题设中AD是中线(即D是BC中B最)E是AD中点,若过量D作DH/EF交AC图1于H,利用平行线等分线段定理的推论,易证得AF=FH=HC,故AF=FC.例2如图2,已知:AABCq-,B=90.,AB=BC,BD=CE,M是AC边的中点,求证:ADEM是等腰三角A形.分析:解决有关等腰直角三D角形的问题,常常引斜边上的q-B线,能得BM上AC,ABMMBC=45.AM=MC=BM等条图2件,只需再证ADBMECM(SAS)即可.二,截长补短,构造全等三角形在平面几何中,有时要证明线段的和,差,倍,分问题,常常通过截长补短法,添加适当的辅助线,构成全等三角形,例3如图3,已知:AE是ABC的中线,D是BC延长线上一点且CD=AB,.,/一3x+4+x:5;则xl=3,x2=一争.(检验1J略)七,辅助方程法(应用平方差公式)例1O解方程X/2x+6+,/2x一1=7.解:设V2x+6:m,x/2x一1=n,则原方程可化为m+n=7.而ITI一11=(2x+6)一(2x一1)=7.,得mn=1.+,得m=4,即2x/T247=4,两边平方解,得x=5;经检验知,x=5是原方程的根.例11解方程,/2一7x+1一X/2xa-9x+4=1.解:设./2x2-7x+1=m./2xa-9x+4=n则原方程,-1-4J为mn=1.而n=(2xL7x+1)一(2x-a一9x+4)=2x一3.-,得m+n=2x一3.+,得m=x一1,即,v/27x+1=x一1.解之,得xt0,x:=5.(检验略)八,应用根与系数的关系例12解方程,+V”Tg=5解:两边平方并化简,得,/.,/干=6.根据根与系数的关系,由式和式可知,以9x/gCT-x和xVTa-为根的一元二次方程是:y2_5y+6=0.解之,得yl=2,y23.即,/x+4=2,或,/x+4=3.(在此无需讨论9x/Wx-x的情况)分别解之,得x-0,X25.(检验略)以上介绍的是解无理方程的几种常用的方法,而解无理方程的方法并不仅限于此,随着我们学习的深入和知识面的扩大.以及无理方程结构特征的变化,其解题方法也不断的改变和完善,在这里就不一一赘述了.练习题:解下列各方程:1,/+xVTq-=vgZ7一;2,:匝2vT-x一,VGT;-一,3,2,/丽+,/:92x.参考答案:1,xlm,x2n;2,x1;3,x12004/ii初尹譬学习投巧.0辅助线的几种方法三角形中添加巳日