离散型随机变量的均值与方差的应用 一 离散型随机变量的均值和方差的概念 知识点梳理 若离散型随机变量X的分布列为 1 均值称E X 为随机变量X的均值或 它反映了离散型随机变量取值的 x1p1 x2p2 xipi xnpn 数学期望 平均水平 平均偏离程度 其中 为随机变量X的标准差 2 方差称D X 为随机变量X的方差 它刻画了随机变量X与其均值E X 的 注 方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量 它的值越小 则随机变量偏离于均值的平均程度越小 即越集中于均值 记作 二 离散型随机变量的性质 1 E aX b 2 D aX b a b为常数 aE X b a2D X 1 若X服从两点分布 则E X D X 2 若X B n p 则E X D X 2 两点分布与二项分布的均值与方差 1 线性性质 规律方法求离散型随机变量X的均值 方差的方法与步骤 1 理解X的意义 写出X的可能取值 2 求X取每一个值的概率 3 写出随机变量X的分布列 4 由期望 方差的定义求E X D X 特别地 若随机变量服从两点分布或二项分布 可根据公式直接计算E X 和D X 2 有一批产品 其中有12件正品和4件次品 从中有放回地任取3件 若X表示取到次品的次数 则D X 117 3 设随机变量则 A n 8 p 0 2B n 4 p 0 4C n 5 p 0 32D n 7 p 0 45 A 小试牛刀 例1 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛 设随机变量X表示所选3人中女生的人数 1 求X的分布列 2 求X的数学期望和方差 3 求 所选3人中女生人数X 1 的概率 超几何分布 题型一 均值与方差的求法 练习 某运动员投篮的命中率为p 0 6 1 求一次投篮时命中次数 的均值与方差 2 求重复5次投篮时 命中次数 的均值与方差 解析 1 投篮一次 命中次数 的分布列为 题型一 均值与方差的求法 故E p 0 6 D pq 0 6 0 4 0 24 练习 某运动员投篮的命中率为p 0 6 1 求一次投篮时命中次数 的均值 方差 2 求重复5次投篮时 命中次数 的均值与方差 题型一 均值与方差的求法 故E np 5 0 6 3 D np 1 p 5 0 6 0 4 1 2 例2 设随机变量 具有分布列P k k 1 2 3 4 5 求E 2 5 D 2 1 解析 题型二 均值与方差性质的应用 E 2 5 2E 5 11 是随机变量 则 a b仍是随机变量 在求 的期望和方差时 熟练应用期望和方差的性质 可以避免再求 的分布列带来的繁琐运算 点评 D 2 1 4D 8 例3 湖北理 袋中有20个大小相同的球 其中记上0号的有10个 记上n号的有n个 n 1 2 3 4 现从袋中任取一球 表示所取球的标号 1 求 的分布列 期望和方差 2 若 a b E 1 D 11 试求a b的值 解 1 的分布列为 题型二 均值与方差性质的应用 2 由D a2D 得a2 2 75 11 即a 2 又E aE b 所以当a 2时 由1 2 1 5 b 得b 2 当a 2时 由1 2 1 5 b 得b 4 思考题 基本方法 1 已知随机变量的分布列求它的期望 方差和标准差 可直接按定义 公式 求解 2 已知随机变量 的期望 方差 求 的线性函数 a b的期望 方差和标准差 可直接用 的期望 方差的性质求解 3 如能分析所给随机变量 是服从常用的分布 如两点分布 二项分布等 可直接利用它们的期望 方差公式求解 1 在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式 2 对于应用问题 必须对实际问题进行具体分析 一般要将问题中的随机变量设出来 再进行分析 求出随机变量的概率分布 然后按定义计算出随机变量的期望 方差或标准差 失误与防范 1 求离散型随机变量X的均值 方差的方法与步骤 找出随机变量X的可能取值 写出随机变量X的分布列 2 由期望 方差的定义求E X D X 特别地 若随机变量满足线性性质或服从两点分布 二项分布 可根据公式直接计算E X 和D X 小结 2 均值与方差在实际生产 生活中的作用 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动 集中于离散程度 在实际应用中先运算均值 看一下谁的平均水平高 如果均值相同 则计算方差来分析最后的选取由实际情况而定