圆的对称性 垂径定理 探讨圆的对称性 1 圆是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 你是用什么方法解决上述问题的 活动一 圆是轴对称图形 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴 可利用折叠的方法即可解决上述问题 2 圆是中心对称图形吗 圆是旋转对称图形吗 我们可以用旋转的方法即可解决这个问题 发现结论 1 圆是轴对称图形 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴 2 圆是中心对称图形 圆的对称中心是圆心 3 圆是旋转对称图形 圆的旋转中心是圆心 O A C B N M D 任意一条直径都是圆的对称轴 O A B C D E 活动二 画一条弦AB 再画一条直径CD使CD AB垂足为E 以CD所在的直线对折你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法 发现相等的线段 相等的弧 AE BE 垂径定理 垂直于 平分这条弦 并且平分弦所对的弧 弦 的直径 在 O中 直径CD 弦AB于E 1 文字语言 2 几何语言 AE BE 3 结构语言 CD是直径 CD AB AE BE 例1 如图 在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 O A B E 解 答 O的半径为5cm 典型例题 在Rt AOE中由勾股定理得 由垂径定理得 AE BE 1 2AB 4cm 1 在 O中 OC垂直于弦AB AB 8 OA 5 则AC OC 5 8 4 3 1 在 O中 C为AB上一动点 OC最长为5 最短为3 则弦AB 5 跟踪练习 3 8 例2 已知 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 求证 AC BD 则由垂径定理得AE BE CE DE 典型例题 证明 过O作OE AB 垂足为E AE CE BE DE 所以 AC BD 方法总结 垂径定理常见辅助线为 圆心遇弦作垂直 并结合勾股定理进行求解 例3 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后 截面如图所示 若油面宽AB 600mm 求油的最大深度 典型例题 方法总结 对于一个圆中的弦长a 圆心到弦的距离d 圆半径r 弓形高h 这四个量中 只要已知其中任意两个量 就可以求出另外两个量 如图有 d h r 作业评讲 1 如图 在 O中 CD是直径 AB是弦 且CD AB 已知CD 20 CM 4 求AB 解 连接OA 在 O中 直径CD 弦AB 由垂径定理得 AB 2AM OMA是Rt CD 20 AO CO 10 OM OC CM 10 4 6 在Rt OMA中 AO 10 OM 6 根据勾股定理 得 AB 2AM 2x8 16 2 如图 AB CD都是 O的弦 且AB CD 求证 AC BD F E 解 过点O作OE CD 交CD于点E 在 O中 OF 弦AB 由垂径定理得 G 交 O于点G 交AB于点F OE 弦CD 由垂径定理得 延伸提高 1 过 O内一点A的最长弦为10 最短弦为8 则OA 2 已知 如图 O的直径AB和CD相交于点E 已知AE 1 EB 5 DEB 60 求CD的长3 如图 一条公路的转弯处是一段圆弧 即图中弧CD 点O是弧CD的圆心 其中CD 600m E为弧CD上的一点 且OE CD垂足为F EF 90m 求这段弯路的半径 E 小结 1 我们要掌握圆的对称性 圆既是轴对称图形又是中心对称图形还是旋转对称图形 2 垂径定理的三种语言 文字语言 几何语言 结构语言 3 在涉及圆的弦的问题时通常通过做过圆心的弦的垂线从而利用垂径定理与勾股定理来解决问题 5 请大家回去思考这样一个问题 在垂径定理的题设和结论共5个条件中 若换成已知 能否得到 吗 4 例3中 d h r