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湖南省蓝山二中高二数学第二讲 参数方程 四、渐开线与摆线(一)教案 新人教A版知识与技能:了解圆的渐开线的参数方程,掌握直线的参数方程及应用.过程与方法:通过学习本书,进一步明确求曲线参数方程的一般步骤和方法.情感、态度与价值观:通过本节课的学习,开拓自己的数学视野,认识数学的科学价值,体会数学的美学意义.教学过程:1. 渐开线把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么铅笔会画出一条曲线.这条曲线的形状怎样?能否求出它的轨迹方程?我们先分析动点(笔尖)所满足的几何条件.如图,设开始时绳子外端(笔尖)位于点A,当外端展开到点M时,因为绳子对圆心角j(单位是弧度)的一段弧AB,展开后成为切线BM,所以切线BM的长就是AB的长,这是动点(笔尖)满足的几何条件.我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆.根据动点满足的几何条件: 我们以基圆圆心O为原点,直线OA为x轴,建立平面直角坐标系(图).设基圆的半径为r,绳子外端M的坐标为(x,y).显然,点M由角j惟一确定. 2. 摆线如果在自行车的轮子上喷一个白色印记,那么当自行车在笔直的道路上行驶时,白色印记会画出什么样的曲线?上述问题抽象成数学问题就是:当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹是什么?如图,假设B为圆心,圆周上的定点为M,开始时位于O处.圆在直线上滚动时,点M绕圆心作圆周运动,转过j(弧度)角后,圆与直线相切于A,线段OA的长等于MA的长,即OA=rj.这就是圆周长上的定点M在圆B沿直线滚动过程中满足的几何条件.我们把点M的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线.在摆线的参数方程中,参数j的取值范围是什么?一个拱的宽度与高度各是多少?练习1. 如图,有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径是225mm,求齿廓线AB所在的渐开线的参数方程.2. 求摆线与直线 y=2的交点的直角坐标.课后作业教材P.39习题2.4第2、3题.
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