空间向量在面面平行问题中的应用证明面面平行就是要证明一个平面中的两个不共线的向量与另一个平面中的两个不共线的向量分别共线，从而与面面平行的判定定理联系起来，使问题得以解决。例1 正方体ABCDABCD中，求证：平面ABD平面C BDDCxABzABCDy证明：如图，分别以DA、DC、DD三边所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)， C(0，1，1)，D(0，0，1)，则= (1，0，1)，= (1，0，1)，即直线，则平面C BD同理可证AB平面C BD所以平面ABD平面C BD评析：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明，用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系例2 已知在正方体ABCDABCD中，E、F、G分别是BB、CD和DD的中点求证：xCABABDyzCDFE平面AED平面BCG；平面BCG平面ADF证明：以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，令DD= 2，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，A(2，0，2)，D(0，0，2)，B(2，2，0)，B(2，2，2)，C(0，2，0)，C(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，G(0，0，1)= (2，0，0)，= (0，2，1)，= (2，0，0)，= (0，2，1)，= (2，0，0)，= (0，1，2)设= (x，y，z)，= (x，y，z)，= (x，y，z)分别是平面AED、平面BCG和平面ADF的法向量，则由，取y=1，得= (0，1，2)同理可得= (0，1，2)，= (0，2，1)与共线，平面AED平面BCG= 0012(2)1 = 0，平面BCG平面ADF评析：利用法向量证明平面与平面平行的基本思路是：把平面与平面平行问题转化为证明这两个平面的法向量共线