10 双曲线性质考纲解读了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)【知识整合】1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)若ac，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程 (a0，b0) (a0，b0)来源:Zxxk.Com图形性质来源:Z.xx.k.Com来源:学科网范围xa或xa，yR来源:学&科&网xR，ya或ya来源:Zxxk.Com对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2【名师点睛】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.离心率e.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.【名师划重点】已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程就是双曲线 (a0，b0)的两条渐近线方程.1.双曲线方程中c2a2b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线 (a0，b0)的渐近线方程是yx， (a0，b0)的渐近线方程是yx.4.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.【高考真题再现】【例题】双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为A2sin40B2cos40CD【答案】D【解析】由已知可得，故选D【举一反三】1. 若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题,因为,所以,所以渐近线方程为,故选:B2. 过双曲线的右焦点且与对称轴垂直的直线与双曲线交于，两点，的面积为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】双曲线右焦点坐标，其中.把代入，得,.的面积,又的面积为，.双曲线的离心率.故选：.【押题预测】1(河南省安阳市2019-2020学年高三第一次调研考试数学（文)试题)已知双曲线的左、右焦点分别为，点的坐标为若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为( )ABCD【答案】C【解析】由已知可得，若，即，左支上的点均满足，如图所示，当点位于点时，最小，故，即,或或或或双曲线的离心率的取值范围为 .2（2020届湖北省武汉市武昌区高三下学期四月调研测试数学(文)试题）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的右支上一点，点和分别是的重心和内心，且与轴平行，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】不妨设点，则，由点是的重心，点即，又与轴平行，点是的内心，点到直线、的距离均为，点到的距离为，又，.故选：A.3（广东省揭阳市2019届高三第二次模拟考试数学（文)试题）已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为ABCD【答案】C【解析】依题意，故，两边除以得，解得.