26 1二次函数及其图象26 1 1二次函数 第二十六章二次函数 1 二次函数的定义 2 二次函数的图象及性质 3 抛物线的平移法则 4 二次函数解析式的三种形式 5 二次函数与一元二次方程的关系 6 二次函数的综合运用 为什么a 0呢 我们把形如y ax bx c 其中a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 其中 x是自变量 a b c分别是函数解析式的二次项系数 一次项系数和常数项 一 二次函数的定义 1 定义 y ax bx c a b c是常数 a 0 2 定义要点 1 a 0 2 最高次数为2 3 代数式一定是整式 整式 整式是有理式的一部分 在有理式中可以包含加 减 乘 除四种运算 但在整式中除数不能含有字母 单项式和多项式都统称为整式 2x 30 4X3xy是整式 x y不是整式 因为分母不能含有未知数 它是分式 分母中含有字母的式子一定不是多项式也不是单项式 因此其不是整式 所有单项式和多项式都是整式 练习 y x2 y 2x2 3 y 100 5x2 y 2x2 5x3 3中有个是二次函数 一 二次函数的定义 2 3 若函数为二次函数 求m的值 温故知新 1 一次函数y x 2的图象与x轴的交点为 一元一次方程x 2 0的根为 2 一次函数y 3x 6的图象与x轴的交点为 一元一次方程 3x 6 0的根为 思考 一次函数y kx b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx b 0的根有什么关系 一次函数y kx b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx b 0的根 20 2 20 2 函数y x2 2x 3的图象与x轴两个交点为 1 0 3 0 方程x2 2x 3 0的两根是x1 1 x2 3你发现了什么 1 二次函数y ax2 bx c与x轴的交点的横坐标就是当y 0时一元二次方程ax2 bx c 0的根 2 二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决 例题精讲 1 求二次函数y x2 4x 5与x轴的交点坐标解 令y 0则x2 4x 5 0解之得 x1 5 x2 1 交点坐标为 5 0 1 0 结论一 若一元二次方程ax2 bx c 0的两个根是x1 x2 则抛物线y ax2 bx c与x轴的两个交点坐标分别是A B 思考 函数y x2 6x 9和y 2x2 3x 5与x轴的交点坐标是什么 试试看 X1 0 X2 0 探究二 二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解有关系吗 结论二 函数与x轴有两个交点方程有两不相等根函数与x轴有一个交点方程有两相等根函数与x轴没有交点方程没有根方程的根的情况是由什么决定的 判别式b2 4ac的符号 结论三 对于二次函数y ax2 bx c 判别式又能给我们什么样的结论 1 b2 4ac 0函数与x轴有两个交点 2 b2 4ac 0函数与x轴有一个交点 3 b2 4ac 0函数与x轴没有交点 一般地 我们可以用配方法求抛物线y ax2 bx c a 0 的顶点与对称轴 课时小结 二 二次函数的图象及性质 当a 0时开口向上 当a 0时开口向下 h k 在对称轴左侧 y随x的增大而减小 在对称轴右侧 y随x的增大而增大 在对称轴左侧 y随x的增大而增大 在对称轴右侧 y随x的增大而减小 直线x h x h时ymin k x h时ymax k 函数开口方向 顶点坐标是 对称轴是 当x时 y随x的增大而 当x时 y有最值为 向上 减小 小 抛物线y a x h 2 k有如下特点 知识回顾 1 当a 0时 开口 当a 0时 开口 2 对称轴是 3 顶点坐标是 向上 向下 h k 直线X h 一般地 抛物线y a x h 2 k与y ax2的相同 不同 知识回顾 y ax2 y a x h 2 k 形状 位置 左加右减 上正下负 y ax2 y ax2 k y a x h 2 y a x h 2 k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 三 抛物线的平移法则 上 下 左 右 1 将抛物线y 3x2 1向上平移2个单位 再向右平移3个单位 所得的抛物线的表达式 三 抛物线的平移法则 上 下 左 右 2 若把抛物线y x2 bx c向左平移3个单位 再向上平移2个单位 得抛物线y x2 2x 2 则b c 8 15 四 a b c符号的确定 决定开口方向 a b同时决定对称轴位置 决定抛物线与y轴的交点位置 五 二次函数解析式的三种形式 已知顶点坐标 对称轴或最值 已知任意三点坐标 已知抛物线与x轴的交点坐标 x1 0 x2 0 2 已知抛物线过三点 A 1 2 B 0 1 C 2 7 求二次函数的解析式 解 设二次函数的解析式为 由已知得 注 此题运用了二次函数的一般式 3 已知抛物线与x轴交于A 1 0 B 3 0 且过点C 1 2 求抛物线的函数解析式 解 由已知设函数的解析式为 抛物线过点C 1 2 注 此题运用了二次函数的双根式 联想 二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决 那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢 例如 二次函数y x2 2x 3和一次函数y x 2有交点吗 有几个 分析 两个函数的交点是这两个函数的公共解 先列出方程组 消去y后 再利用判别式判断即可 例题精讲3 二次函数y x2 x 3和一次函数y x b有一个公共点 即相切 求出b的值 解 由题意 得消元 得x2 x 3 x b整理 得x2 2x 3 b 0 有唯一交点 2 2 4 3 b 0解之得 b 4 y x2 x 3 y x b 选择合适的方法求二次函数解析式 1 抛物线经过 2 0 0 2 2 4 三点 2 抛物线的顶点坐标是 6 2 且与X轴的一个交点的横坐标是8 练习 有两个交点 有两个相异实数根 b2 4ac 0 有一个交点 有两个相等实数根 b2 4ac 0 没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 一元二次方程ax2 bx c 0的根就是二次函数y ax2 bx c图象与x轴交点的横坐标 六 二次函数与一元二次方程的关系 练习已知抛物线y x2 mx m 1 2 若抛物线与y轴交于正半轴 则m 1 若抛物线经过坐标系原点 则m 3 若抛物线的对称轴为y轴 则m 4 若抛物线与x轴只有一个交点 则m 1 1 2 0 不论x为何值时 函数y ax2 bx c a 0 的值永远为正的条件是 a 0 0 求抛物线 与y轴的交点坐标 与x轴的两个交点间的距离 何时y 0 3 已知抛物线和y轴的交点 0 和x轴的一个交点 1 0 对称轴是x 1 1 求图象是这条抛物线的二次函数的解析式 2 判断这个二次函数是有最大值还是有最小值 并求出这个最大值或最小值 解法一 1 设二次函数的解析式为 2 由于 所以这个二次函数有最小值 解法二设解析式为y a x 1 2 k 则由已知得点 1 0 在图象上 所以 解这个二元一次方程组 得 解法三 对称轴为x 1 一个交点 1 0 另一个交点为 3 0 设抛物线的解析式为y a x 1 x 3 注 此题的三种解法分别运用了二次函数的一般式 顶点式 双根式 1 定义 一般地 形如y ax bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 y ax bx c a b c是常数 a 0 的几种不同表示形式 1 y ax a 0 b 0 c 0 2 y ax c a 0 b 0 c 0 3 y ax bx a 0 b 0 c 0 2 定义的实质是 ax bx c是整式 自变量x的最高次数是二次 自变量x的取值范围是全体实数 定义中应该注意的几个问题