第三章概率3 2 1古典概型 1 复习 1 从事件发生与否的角度可将事件分为哪几类 2 概率是怎样定义的 3 概率的性质 必然事件 不可能事件 随机事件 0 P A 1 P 1 P 0 2 新课 1 问题 对于随机事件 是否只能通过大量重复的实验才能求其概率呢 思考 有红桃1 2 3和黑桃4 5这5张扑克牌 将其牌点向下置于桌上 现从中任意抽取一张 那么抽到的牌为红桃的概率有多大 大量重复试验的工作量大 且试验数据不稳定 且有些时候试验带有破坏性 3 5 3 2 考察抛硬币的试验 为什么在试验之前你也可以想到抛一枚硬币 正面向上的概率为 原因 1 抛一枚硬币 可能出现的结果只有两种 它们都是随机事件 2 硬币是均匀的 所以出现这两种结果的可能性是均等的 3 若抛掷一枚骰子 它落地时向上的点数为3的概率是多少 为什么 4 由以上两问题得到 对于某些随机事件 也可以不通过大量重复试验 而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计算概率 归纳 那么 对于哪些随机事件 我们可以通过分析其结果而求其概率 1 对于每次试验 只可能出现有限个不同的试验结果 2 所有不同的试验结果 它们出现的可能性是相等的 5 我们把这类试验结果的随机事件成为基本事件 其实 基本事件都有如下特点 1 任何两个基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 每一个基本事件发生的可能性都相同则称这些基本事件为等可能基本事件 6 通过以上两个例子进行归纳 我们将满足 1 2 两个条件的概率模型称为古典概型 由于以上这些都是历史上最早研究的概率模型 对上述的数学模型我们称为古典概型 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 每个基本事件出现的可能性相等 7 如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件 那么事件A的概率 古典概型的概率 如果一次试验的等可能基本事件共有n个 那么每一个基本事件的概率都是 8 应用 1掷一颗质地均匀的骰子 观察掷出的点数 1 写出所有的基本事件 说明其是否是古典概型 2 观察掷出的点数 求掷得奇数点的概率 解 1 有6个基本事件 分别是 出现1点 出现2点 出现6点 因为骰子的质地均匀 所以每个基本事件的发生是等可能的 因此它是古典概型 2 这个试验的基本事件共有6个 即 出现1点 出现2点 出现6点 所以基本事件数n 6 事件A 掷得奇数点 出现1点 出现3点 出现5点 其包含的基本事件数m 3所以 P A 0 5 9 应用2一只口袋内装有大小相同的5只球 其中3只白球 2只红球 从中一次摸出两只球 1 共有多少基本事件 2 摸出的两只球都是白球的概率是多少 正解 1 分别记白球1 2 3号 红球为4 5号 从中摸出2只球 有如下基本事件 摸到1 2号球用 1 2 表示 因此 共有10个基本事件 2 记摸到2只白球的事件为事件A 即 1 2 1 3 2 3 故P A 3 10 3 该事件可用Venn图表示 在集合I中共有10个元素在集合A中有3个元素故P A 3 10 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 10 求古典概型的步骤 1 判断是否为等可能性事件 2 计算所有基本事件的总结果数n 3 计算事件A所包含的结果数m 4 计算 对于古典概型 任何事件的概率为 A包含的基本事件的个数 P A 基本事件的总数 11 例1从字母a b c d任意取出两个不同字母的试验中 有哪些基本事件 解 所求的基本事件共有6个 树状图 12 67891011 例2 掷骰子问题 将一个骰子先后抛掷2次 观察向上的点数 问 1 共有多少种不同的结果 2 两数之和是3的倍数的结果有多少种 3 两数之和是3的倍数的概率是多少 第一次抛掷后向上的点数 123456 第二次抛掷后向上的点数 654321 解 1 将骰子抛掷1次 它出现的点数有1 2 3 4 5 6这6种结果 对于每一种结果 第二次抛时又都有6种可能的结果 于是共有6 6 36种不同的结果 234567 345678 456789 789101112 678910 13 2 记 两次向上点数之和是3的倍数 为事件A 则事件A的结果有12种 3 两次向上点数之和是3的倍数的概率为 14 解 记 两次向上点数之和不低于10 为事件B 则事件B的结果有6种 因此所求概率为 变式1 两数之和不低于10的结果有多少种 两数之和不低于10的的概率是多少 15 根据此表 我们还能得出那些相关结论呢 变式3 点数之和为质数的概率为多少 变式4 点数之和为多少时 概率最大且概率是多少 点数之和为7时 概率最大 且概率为 8910111267891011678910456789345678234567 16 变式3 如果抛掷三次 问抛掷三次的点数都是偶数的概率 以及抛掷三次得点数之和等于9的概率分别是多少 分析 抛掷一次会出现6种不同结果 当连抛掷3次时 事件所含基本事件总数为6 6 6 216种 且每种结果都是等可能的 解 记事件E表示 抛掷三次的点数都是偶数 而每次抛掷点数为偶数有3种结果 2 4 6 由于基本事件数目较多 已不宜采用枚举法 利用计数原理 可用分析法求n和m的值 因此 事件E包含的不同结果有3 3 3 27种 故 记事件F表示 抛掷三次得点数之和为9 由于9 1 2 6 1 3 5 1 4 4 2 2 5 2 3 4 3 3 3 17 记事件F表示 抛掷三次得点数之和为9 由于9 1 2 6 1 3 5 1 4 4 2 2 5 2 3 4 3 3 3 对于1 3 5来说 连抛三次可以有 1 3 5 1 5 3 3 1 5 3 5 1 5 1 3 5 3 1 共有6种情况 其中1 2 6 2 3 4同理也有各有6种情况 对于2 2 5来说 连抛三次可以有 2 2 5 2 5 2 5 2 2 共三种情况 其中1 4 4同理也有3种情况 对于3 3 3来说 只有1种情况 因此 抛掷三次和为9的事件总数N 3 6 3 2 1 25种 故 18 例3 储蓄卡的密码一般由6位数字组成 每个数字可以是0 1 2 9十个数字中的任意一个 假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡的密码 问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少 解 随机试一个密码 相当于作一次随机试验 所有的六位密码 基本事件 共有1000000种 n 1000000 用A表示 能取到钱 这一事件 它包含的基本事件的总数只有一个 m 1 P A 而每一种密码都是等可能的 19 例4 某种饮料每箱装12听 如果其中有2听不合格 问质检人员从中随机抽出2听 检测出不合格产品的概率有多大 解 从12听饮料中任意抽取2听 共12 11 2 66种抽法 而每一种抽法都是等可能的 设事件A 检测的2听中有1听不合格 事件B 检测的2听都不合格 它包含的基本事件数为10 2 20 它包含的基本事件数为1 事件C 检测出不合格产品 则事件C A B 且A与B互斥 20 练习题 甲 乙两人做掷色子游戏 两人各掷一次 谁掷得的点数多谁就获胜 求甲获胜的概率 5 12 五件产品中有两件次品 从中任取两件来检验 1 一共有多少种不同的结果 2 两件都是正品的概率是多少 3 恰有一件次品的概率是多少 10种 3 10 3 5 3张彩票中有一张奖票 2人按一定的顺序从中各抽取一张 则 1 第一个人抽得奖票的概率是 2 第二个人抽得奖票的概率是 1 3 1 3 21 课堂小结本节主要研究了古典概型的概率求法 解题时要注意两点 1 古典概型的使用条件 试验结果的有限性和所有结果的等可能性 2 古典概型的解题步骤 求出总的基本事件数 求出事件A所包含的基本事件数 然后利用公式P A 小结 22 23