速度 第3课时运动图象追及和相遇问题考点自清一 直线运动的x t图象1 图象的物理意义 反映了物体做直线运动的变化的规律 2 图线斜率的意义 1 图线上某点切线的斜率大小表示物体 2 图线上某点切线的斜率正负表示物体 位移随时间 速度 的大小 的方向 加速 二 直线运动的v t图象1 图象的物理意义 反映了做直线运动的物体变化的规律 2 图线斜率的意义 1 图线上某点切线的斜率大小表示物体 2 图线上某点切线的斜率正负表示 3 两种特殊的v t图象 1 若v t图象是与横轴平行的直线 说明物体做 2 若v t图象是一条倾斜的直线 说明物体做 速度随时间 度的大小 加速度的 方向 匀速直线运动 匀变速直线运动 4 图象与坐标轴围成的 面积 的意义 1 图象与坐标轴围成的面积表示 2 若此面积在时间轴的上方 表示这段时间内的位移方向为 若此面积在时间轴的下方 表示这段时间内的位移方向为 三 追及和相遇问题1 两物体在同一时刻到达相同的 即两物体追及或相遇 2 追和被追两者的速度相等常是能追上 追不上 二者之间的距离有极值的临界条件 相应时间内 的位移 正方向 负方向 位置 1 在两个物体的追及过程中 当追者的速度小于被追者的速度时 两者的距离在 2 当追者的速度大于被追者的速度时 两者的距离在 3 当两者的相等时 两者的间距有极值 是最大值还是最小值 视实际情况而定 特别提醒 1 在追及 相遇问题中 速度相等往往是临界条件 也往往会成为解题的突破口 2 在追及 相遇问题中常有三类物理方程 位移关系方程 时间关系方程 临界关系方程 增大 减小 速度 热点聚焦热点一运用运动学图象解题运动学图象主要有x t图象和v t图象 运用运动学图象解题总结为 六看 一看 轴 二看 线 三看 斜率 四看 面积 五看 截距 六看 特殊点 1 轴 先要看清坐标系中横轴 纵轴所代表的物理量 即图象是描述哪两个物理量间的关系 是位移和时间关系 还是速度和时间关系 同时还要注意单位和标度 2 线 线 上的一个点一般反映两个量的瞬时对应关系 如x t图象上一个点对应某一时刻的位移 v t图象上一个点对应某一时刻的瞬时速度 线 上的一段一般对应一个物理过程 如x t图象中图线若为倾斜的直线 表示质点做匀速直线运动 v t图象中图线若为倾斜直线 则表示物体做匀变速直线运动 3 斜率 表示横 纵坐标轴上两物理量的比值 常有一个重要的物理量与之对应 用于求解定量计算中对应物理量的大小和定性分析中对应物理量变化快慢的问题 如x t图象的斜率表示速度大小 v t图象的斜率表示加速度大小 4 面积 图线和坐标轴所围成的面积也往往表示一个物理量 这要看两轴所代表的物理量的乘积有无实际意义 这可以通过物理公式来分析 也可以从单位的角度分析 如x和t乘积无实际意义 我们在分析x t图象时就不用考虑 面积 而v和t的乘积vt x 所以v t图象中的 面积 就表示位移 5 截距 表示横 纵坐标轴上两物理量在 初始 或 边界 条件下的物理量的大小 由此往往能得到一个很有意义的物理量 6 特殊点 如交点 拐点 转折点 等 如x t图象的交点表示两质点相遇 而v t图象的交点表示两质点速度相等 热点二追及 相遇问题分析1 讨论追及 相遇的问题 其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题 1 两个关系 即时间关系和位移关系 这两个关系可通过画草图得到 2 一个条件 即两者速度相等 它往往是物体间能否追上 追不上或 两者 距离最大 最小的临界条件 也是分析判断的切入点 2 追及问题 追和被追的两物体的速度相等 同向运动 是能追上 追不上 两者距离有极值的临界条件 1 速度大者减速 如匀减速直线运动 追速度小 者 如匀速运动 两者速度相等 追者位移仍小于被追者位移 则永远追不上 此时二者间有最小距离 若速度相等时 有相同位移 则刚好追上 也是二者相遇时避免碰撞的临界条件 若位移相同时追者速度仍大于被追者的速度 则被追者还能有一次追上追者 二者速度相等时 二者间距离有一个较大值 2 速度小者加速 如初速为零的匀加速直线运动 追速度大者 如匀速运动 当两者速度相等时二者间有最大距离 当两者位移相等时 即后者追上前者 3 相遇问题 1 同向运动的两物体追及即相遇 2 相向运动的物体 当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇 4 分析追及和相遇问题的方法与技巧 1 在解决追及相遇类问题时 要紧抓 一图三式 即 过程示意图 时间关系式 速度关系式和位移关系式 另外还要注意最后对解的讨论分析 2 分析追及 相遇类问题时 要注意抓住题目中的关键字眼 充分挖掘题目中的隐含条件 如 刚好 恰好 最多 至少 等 往往对应一个临界状态 满足相应的临界条件 题型探究题型1图象问题 例1 甲 乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动 t 0时刻同时经过公路旁的同一个路标 在描述两车运动的v t图象中 如图1 直线a b分别描述了甲 乙两车在0 20s的运动情况 关于两车之间的位移关系 下列说法正确的是 A 在0 10s内两车逐渐靠近B 在10 20s内两车逐渐远离C 在5 15s内两车的位移相等D 在t 10s时两车在公路上相遇 图1 思路点拨 1 两车各做什么运动 图线交点的意义是什么 2 图线与横轴所围的 面积 在数值上等于汽车在该时间内的位移 解析甲车做速度为5m s的匀速直线运动 乙车做初速度为10m s的匀减速直线运动 在t 10s时 两车的速度相同 在此之前 甲车的速度小于乙车的速度 两车的距离越来越大 在此之后 甲车的速度大于乙车的速度 两车的距离又逐渐减小 在t 20s时两车相遇 故选项A B D均错 5 15s内 两图线与时间轴所围成的面积相等 故两车的位移相等 选项C正确 答案C 方法提炼分析运动图象应注意 1 区别x t图象和v t图象的物理意义 2 两种运动图象均表示直线运动 3 能从图线分析出物体的运动性质 从而正确应用运动学公式 变式练习1一遥控玩具小车在平直路上运动的位移 时间图象如图2所示 则 A 15s末汽车的位移为300mB 20s末汽车的速度为 1m sC 前10s内汽车的速度为3m sD 前25s内汽车做单方向直线运动解析由位移 时间图象可知 前10s汽车做匀速直线运动 速度为3m s 加速度为0 所以C正确 10s 15s汽车处于静止状态 汽车相对于出发点的位移为30m 所以A错误 15s 25s汽车向反方向做匀速直线运动 速度为 1m s 所以D错误 B正确 图2 BC 题型2追及相遇问题 例2 汽车以25m s的速度匀速直线行驶 在它后面有一辆摩托车 当两车相距1000m时 摩托车从静止起动做匀加速运动追赶汽车 摩托车的最大速度可达30m s 若使摩托车在4min时刚好追上汽车 摩托车追上汽车后 关闭油门 速度达到12m s时 冲上光滑斜面 上滑最大高度为H 求 1 摩托车做匀加速运动的加速度a 2 摩托车追上汽车前两车相距最大距离x 3 摩托车上滑最大高度H g取10m s2 解析 1 设汽车位移为x1 摩托车位移为x2摩托车的加速度为a 摩托车达到最大速度所用时间为t 则30 atx1 25 240m 6000mx2 追上条件为x2 x1 1000ma 2 25m s2 2 摩托车与汽车速度相等时相距最远设此时刻为T 最大距离为xM即25 aTT sxM 1000 25T m 1138m 3 MgHH 7 2m答案 1 2 25m s2 2 1138m 3 7 2m 方法提炼分析追及问题的方法技巧1 要抓住一个条件 两个关系一个条件 即两者速度相等 它往往是物体间能否追上或两者距离最大 最小的临界条件 也是分析判断的切入点 两个关系 即时间关系和位移关系 通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口 2 若被追赶的物体做匀减速直线运动 一定要注意追上前该物体是否已经停止运动 3 仔细审题 充分挖掘题目中的隐含条件 同时注意v t图象的应用 变式练习2某些城市交通部门规定汽车在市区某些街道行驶速度不得超过vm 30km h 一辆汽车在该水平路段紧急刹车时车轮抱死 沿直线滑行一段距离后停止 交警测得车轮在地面上滑行的痕迹长xm 10m 从手册中查出该车轮与地面间的动摩擦因数 0 72 取g 10m s2 1 请你判断汽车是否违反规定超速行驶 2 目前 有一种先进的汽车制动装置 可保证车轮在制动时不被抱死 使车轮仍有一定的滚动 安装了这种防抱死装置的汽车 在紧急刹车时不 但可以使汽车便于操控 而且可获得比车轮抱死更大的制动力 从而使刹车距离大大减小 假设汽车安装防抱死装置后刹车制动力恒为F 驾驶员的反应时间为t 汽车的质量为m 汽车正常行驶的速度为v 试推出刹车距离x的表达式 解析 1 因为汽车刹车且车轮抱死后 汽车受滑动摩擦力作用做匀减速运动 所以滑动摩擦力大小Ff mg汽车的加速度a 由v12 v02 2ax 且v1 0得v0 12m s 43 2km h 30km h即这辆车是超速的 2 刹车距离由两部分组成 一是司机在反应时间内汽车行驶的距离x1 二是刹车后匀减速行驶的距离x2 x x1 x2 vt 加速度大小a 则x vt 答案 1 汽车是违反规定超速行驶 2 x vt 题型3利用图象信息解决问题 例3 如图3所示为汽车刹车痕迹长度x 即刹车距离 与刹车前车速v 汽车刹车前匀速行驶 的关系图象 例如 当刹车痕迹长度为40m时 刹车前车速为80km h 1 假设刹车时 车轮立即停止转动 尝试用你学过的知识定量推导并说明刹车痕迹与刹车前车速的关系 2 在处理一次交通事故时 交警根据汽车损坏程度估计出碰撞时的车速为40km h 并且已测 图3 出刹车痕迹长度为20m 请你根据图象帮助交警确定出该汽车刹车前的车速 并在图象中的纵轴上用字母A标出这一速度 由图象知 汽车刹车前的速度为多少 解析 1 设汽车的质量为m 轮胎与路面间的动摩擦因数为 根据牛顿第二定律 汽车刹车时有 mg ma 对汽车的刹车过程由运动学公式得 2ax v2 由以上两式得x 即刹车痕迹与刹车前车速的平方成正比 2 汽车相撞时的速度为40km h 根据图象可知从这个速度减到零 汽车还要向前滑行10m 撞前汽车已经滑行20m 所以 如果汽车不相撞滑行30m后停下 滑行30m对应的初速度如图中的A点对应速度 故汽车刹车前的速度为68km h 答案 1 见解析 2 68km h 评分标准 共16分 各3分 各2分 名师导析 图象在中学物理中应用十分广泛 它能形象地表达物理规律 直观地叙述物理过程 并鲜明地表示物理量间的各种关系 利用图象解决物理问题 是学好物理的一种重要方法 由于其具有直观形象 简捷实用的特点 高考更加重视对图象的理解与应用 利用图象法解决问题的知识点明显增多 高考中命题的几率也明显提高 自我批阅 14分 2008年8月 北京成功举办了第29届奥林匹克运动会 某运动员在100m预赛中成绩刚好为10 0s 1 假设运动员从起跑开始全程一直保持匀加速运动 求运动员的加速度a及冲刺终点时速度v的大小 2 实际上 运动员起跑时会尽力使加速度达到最大 但只能维持一小段时间 受到体能的限制和空气阻力等因素的影响 加速度将逐渐减小 到达终点之前速度已达到最大 图4中记录的是 该运动员在比赛中的v t图象 其中时间t1 0 2s 和时间t3 7 10s 内对应的图线均可视为直线 时间t2 2 7s 内对应的图线为曲线 试求运动员在时间t2 2 7s 内的平均速度的大小 图4 解析 1 根据匀变速直线运动规律有x at2 2分 v at 或v 2分 解得a 2m s2 1分 v 20m s 1分 2 由图象可知时间t1 0 2s 内运动员做初速度为零的匀加速直线运动位移大小x1 v1t1 8m 2分 时间t3 7 10s 内运动员以速度vm 12m s做匀 速直线运动位移大小x3 vmt3 36m 2分 在2 7s内位移大小x2 x x1 x3 56m 2分