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.相似模型(一)(讲义) 课前预习1. 请证明以下结论:如图 1,在ABC 中,DEBC,求证:ADEABC如图 2,在ABC 中,B=AED,求证:AEDABC如图 3,在ABC 中,B=ACD,求证:ACDABC如图 4,直线 AB,CD 相交于点 O,连接 AC,BD,且ACBD,求证:AOCBOD如图 5,直线 AB,CD 相交于点 O,连接 AC,BD,B=C,求证:AOCDOB如图 6,在 RtABC 中,BAC=90,ADBC 于点 D, 求证:ADBCDA,ADBCABDDEAAADE.B CBC BC图 1图 2图 3OCBOD BAACADBDC图 4图 5图 6 知识点睛1. 六种相似基本模型:DDDEAAAEBCBCBCDEBCB=AEDB=ACDA 型当两个三角形相似且有公共边时, 借助对应边成比例往往可以得到a2=bc 形式的关系 例如:“母子型”中ABDCBAAB2=BCBDACDBCA ADBCDA DBCABOOACADBDCACBDB=CAD 是 RtABC 斜边上的高X 型母子型2. 相似、角相等、比例线段间的关系:判定角相等比例线段相似 性质角相等比例线段列方程(或表达边) 比的传递转移相似往往与 等信息组合搭配起来使用多个相似之间一般会通过 来转移条件一般碰到不熟悉的线段间关系时,常需要还原成 来观察和分析3. 影子上墙: 、 、 是影子上墙时的三种常见处理方式,它们的实质是构造三角形相似DAGEFBCGDDD HHGGEF HEFEFDEHABCDHGABCHEFABC 精讲精练1. 如图,在ABC 中,EFDC,AFE=B,AE=6,ED=3,AF=8,则 AC=EDFA, CD =BCABEFCDBC第 1 题图第 2 题图2. 如图,ABCD,线段 BC,AD 相交于点 F,点 E 是线段 AF 上一点且满足BEF=C,其中 AF=6,DF=3,CF=2,则AE= 3. 如图,在 RtABC 中,ACB=90,CDAB 于点 D,BD=2,AD=8,则 CD= ,AC= ,BC= DEGACBCADBF第 3 题图第 4 题图4. 如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和AFG 摆放在一起,A 为公共顶点,BAC=AGF=90,它们的斜边长为 2,若ABC 固定不动,AFG 绕点 A 旋转,AF,AG 与边 BC 的交点分别为 D,E(点 D 不与点 B 重合,点 E不与点 C 重合)请写出图中所有的相似三角形 ;若 BD = 1 ,则 CE=.25. 如图,M 为线段 AB 上一点,AE 与 BD 交于点 C,DME=A=B=,且 DM 交 AE 于点 F,ME 交 BD 于点 G(1)写出图中的三对相似三角形;(2)连接 FG,当 AM=MB 时,求证:MFGBMGFGCDA MBE6. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 为AD 的中点,连接 BE 交 AC 于点 F,连接 FD若BFA=90,给出以下三对三角形:BEA 与ACD;FED 与DEB;CFD 与ABO其中相似的有 (填写序号)AED FOBC7. 如图,在ABC 中,ACB=90,CEAB 于点 E,D 在 AB4 55的延长线上,且DCB=A,BD:CD=1:2, AE =,则BCD 的面积是()A 13B53C 23D 2 53CAEBD8. 如图,在 RtABD 中,过点 D 作 CDBD,垂足为 D,连接BC 交AD 于点E,过点E 作EFBD 于点F,若AB=15,CD=10,则 BF:FD= EAANMCDBFDBEC第 8 题图第 9 题图9. 如图,在ABCD 中,E 为 BC 的中点,连接 AE,AC,分别交 BD 于 M,N,则 BM:DN= 10. 如图,直线 l1l2,若 AF:FB=2:3,BC:CD=2:1,则CE:AE= A GD F EGAl1FE l2BCDBC第 10 题图第 11 题图11. 如图,在ABCD 中,E 是 BA 延长线上一点,CE 分别与 AD,BD 交于点 G,F则下列结论: EG = AG ; EF = BF ;GCGD FC = BF ; CF 2 = GF EF 其中正确的是GFFDFCFD12. 如图所示,ABCD,AD,BC 交于点 E,过 E 作 EFAB 交BD 于点 F则下列结论:EFDABD; EF= BF ; EF + EF = FD + BFCDBD= 1 ; 1 + 1 = 1 其中正确的ABCDBDBD有 ABCDEFAECBFD13. 如图,在ABC 中,CDAB 于点 D,正方形 EFGH 的四个顶点都在ABC 的边上求证: 1 + 1 = 1 ABCDEFCEFAHDGB14. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度在阳光下,一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米,同时另一名同学测量一棵树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),这部分影长为 1.2 米,落在地面上的影长为 2.4 米,则树高为 ADBC第 14 题图第 15 题图15. 小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上, 量得 CD=8 米,BC=20 米,CD 与地面成 30角,且此时测得1 米杆的影长为 2 米,则电线杆的高度为()A9 米B28 米C (7 + 3) 米D (14 + 2 3) 米16. 如图,在斜坡的顶部有一铁塔 AB,B 是 CD 的中点,CD 是水平的,在阳光的照射下,塔影 DE 留在坡面上若铁塔底座宽 CD=12 m,塔影长 DE=18 m,小明和小华的身高都是1.6 m,同一时刻小明站在点 E 处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为 2 m 和 1 m, 则塔高 AB 为()A24 mB22 mC20 mD18 mACBDE【参考答案】 课前预习1. 证明略; 知识点睛2. 角相等、比例线段,比例的传递与整合,比例形式3. 推墙法、抬高地面法、砍树法框内答案框 1: AC 2 = BC CD ; AD2 = CD DB 精讲精练1.12, 342.10353.4, 4 5 , 24. ABEDAE;DACDEA;ABEDCA;ABCGAF 2 35. (1)AMFBGM;AMEMFE;BMDMGD;(2)证明略6.7.A8.3:29.2:310. 1:211. 12. 13. 证明略14. 4.2 米15. D16. A相似模型(一)(习题) 例题示范例 1:如图,某一时刻,旗杆 AB 的影子一部分在地面上,另一部分在建筑物的墙面上小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为9.6 m,在墙面上的影长 CD 为 2 m同一时刻,小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m请帮助小明求出旗杆的高度DABC解:如图,过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E,则四边形 BCDE 为DE矩形A由题意,BC=9.6,CD=2,BC=DE=9.6,CD=BE=2由题意,.AE =ED11.2AE=8BCAB=AE+EB=8+2=10旗杆的高度为 10 m 巩固练习2. 如图,在锐角三角形 ABC 中,高 CD,BE 相交于点 H,则图中与CEH 相似(除CEH 自身外)的三角形有()A1 个B2 个C3 个D4 个AEFBADDEHCBC第 1 题图第 2 题图3. 如图,E 是ABCD 的边 CD 上一点,连接 AC,BE 交于点 F 若 DE:EC=1:2,则 BF:EF= 4. 如图,小明在 A 时刻测得某树B时A时的影长为 2 m,B 时刻又测得该树的影长为 8 m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为 5. 如图,在 RtABC 中,BAC=90,ADBC 于点 D,若BD:CD=3:2,则 AC:AB=()A 32B 23AC62D63GA FD ECBDCB第 4 题图第 5 题图6. 如图,已知ABCD,过点 B 的直线依次与 AC,AD 及 CD 的延长线相交于点 E,F,G若 BE=5,EF=2,则 FG 的长为 7. 如图,梯形 ABCD 的中位线 EF 分别交对角线 BD,AC 于点M,N,AD=1,BC=3,则 EF= ,MN= EMNFA FGDA DBCEBC第 6 题图第 7 题图8. 如图,D 是 AB 的中点,AFCE,若 CG:GA=3:1,BC=8,则 AF= 9. 如图,P 是ABCD 的对角线 BD 上一点,一直线过点 P 分别交 BA,BC 的延长线于点 Q,S,交 AD,CD 于点 R,T 有下列结论:
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