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第二章初等模型 2 1公平的席位分配2 2录像机计数器的用途 不讲 2 3双层玻璃窗的功效2 4汽车刹车距离 不讲 2 5划艇比赛的成绩 不讲 2 6动物的身长和体重 不讲 2 7实物交换2 8核军备竞赛 不讲 2 9启帆远航2 10量纲分析与无量纲化 不讲 2 1公平的席位分配 问题 三个系学生共200名 甲100 乙60 丙40 代表会议共20席 按比例分配 三个系分别为10 6 4席 因学生转系 三系人数为103 63 34 如何分配20席 若代表会议增加1席 如何分配21席 比例加惯例 对丙系公平吗 背景 Hamilton 比例加惯例 方法 1792年美国国会用于分配各州众议员名额 已知 m方人数分别为p1 p2 pm 记总人数为P p1 p2 pm 待分配的总席位为N 记qi Npi P 称为第i方的份额 i 1 2 m 各方先分配qi的整数部分 qi 总余额为 记ri qi qi 则第i方的分配名额ni为 要求 已知份额向量q q1 qm 找一个整数分配向量n n1 nm 使n与q最接近 Hamilton方法的不公平性 1 p1 p2 pm不变 N的增加会使某个ni减少 上例 2 N不变 pi比pj的增长率大 会使ni减少nj增加 如例1 3 p1 p2 pm不变 m增加1 N的增加会使某个ni增加而某个ni减少 如例2 例1 例2 公平 分配方法 衡量公平分配的数量指标 当p1 n1 p2 n2时 分配公平 p1 n1 p2 n2 对A的绝对不公平度 p1 150 n1 10 p1 n1 15p2 100 n2 10 p2 n2 10 p1 1050 n1 10 p1 n1 105p2 1000 n2 10 p2 n2 100 p1 n1 p2 n2 5 但后者对A的不公平程度已大大降低 虽二者的绝对不公平度相同 若p1 n1 p2 n2 对不公平 A p1 n1 p2 n2 5 公平分配方案应使rA rB尽量小 设A B已分别有n1 n2席 若增加1席 问应分给A 还是B 不妨设分配开始时p1 n1 p2 n2 即对A不公平 对A的相对不公平度 将绝对度量改为相对度量 类似地定义rB n1 n2 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配 即 公平 分配方法 若p1 n1 p2 n2 定义 1 若p1 n1 1 p2 n2 则这席应给A 2 若p1 n1 1 p2 n2 3 若p1 n1 p2 n2 1 应计算rB n1 1 n2 应计算rA n1 n2 1 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 则这席应给 应讨论以下几种情况 初始p1 n1 p2 n2 问 p1 n1 p2 n2 1 是否会出现 A 否 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 则这席应给B 当rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 该席给A 该席给A 否则 该席给B 推广到m方分配席位 计算 该席给Q值最大的一方 Q值方法 Huntington 三系用Q值方法重新分配21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 甲系 p1 103 n1 10乙系 p2 63 n2 6丙系 p3 34 n3 3 用Q值方法分配第20席和第21席 第20席 第21席 同上 Q3最大 第21席给丙系 甲系11席 乙系6席 丙系4席 Q值方法分配结果 公平吗 Q1最大 第20席给甲系 模型的公理化研究 Q值方法比 比例加惯例 方法更公平吗 席位分配的公理 1974 份额qi Npi P 分配名额ni ni N p1 pm 已知p1 p2 pm P N 1 qi ni qi 1 i 1 2 m 公平分配性 2 ni N p1 pm ni N 1 p1 pm 名额单调性 3 若pi pi pj pj j i 则ni N p1 ni N p1 人口单调性 4 ni nj的转让不能使得它们更接近qi qj 接近份额性 比例加惯例 方法满足公理1 但不满足公理2 Q值方法满足公理2 但不满足公理1 模型的公理化研究 不存在满足上述公理的席位分配方法 1982 公平的席位分配 建立 公平分配席位 模型的关键是建立衡量公平程度的数量指标 在以相对不公平度为衡量指标的前提下 Q值方法比 比例加惯例 方法更加公平 如果采用公理化方法 提出公平分配席位的理想化原则 那么该问题尚未解决 已证明不存在满足一组公理的席位分配方法 问题 在一次使用中录像带已经转过大半 计数器读数为4450 问剩下的一段还能否录下1小时的节目 要求 不仅回答问题 而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系 思考 计数器读数是均匀增长的吗 2 2录像机计数器的用途 不讲 经试验 一盘标明180分钟的录像带从头走到尾 时间用了184分 计数器读数从0000变到6061 观察 计数器读数增长越来越慢 录像机计数器的工作原理 主动轮匀速转动 问题分析 模型假设 录象带的运动速度是常数v 计数器读数n与右轮转数m成正比 记m kn 录象带厚度 加两圈间空隙 为常数w 空右轮盘半径记作r 时间t 0时读数n 0 建模目的 建立时间t与读数n之间的数量关系 设v k w r为已知参数 模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 1 右轮盘转第i圈的半径为r wi m圈的总长度等于录象带在时间t内移动的长度vt 即 思考 这个结果能否解释 计数器读数增长越来越慢 2 考察右轮盘面积的变化 等于录象带厚度乘以转过的长度 即 模型建立 3 考察t到t dt录象带运动的长度 等于在右轮盘上缠绕的一段圆弧 即 思考 比较方法3与方法1 2 分析微积分与初等数学在解决问题的思路上有什么本质区别 3种建模方法得到同一结果 但仔细推算会发现稍有差别 请解释 模型中有待定参数 一种确定参数的办法是测量或调查 请设计测量方法 模型建立 参数估计 另一种确定参数的方法 测试分析 将模型改记作 只需估计a b 理论上 已知t 184 n 6061 再有一组 t n 数据即可 实际上 由于测试有误差 最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据 用最小二乘法可得 模型检验 应该另外测试一批数据检验模型 模型应用 回答提出的问题 由模型算得n 4450时t 116 4分 剩下的录象带能录184 116 4 67 6分钟的节目 揭示了 t与n之间呈二次函数关系 这一普遍规律 当录象带的状态改变时 只需重新估计a b即可 录像机计数器的用途 日常生活中的问题 录制节目 数学建模全过程的典型示例 问题 双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比 减少多少热量损失 假设 热量传播只有传导 没有对流 T1 T2不变 热传导过程处于稳态 材料均匀 热传导系数为常数 建模 热传导定律 Q 单位时间单位面积传导的热量 T 温差 d 材料厚度 k 热传导系数 2 3双层玻璃窗的功效 Ta Tb 记双层玻璃窗传导的热量Q1 Ta 内层玻璃的外侧温度 Tb 外层玻璃的内侧温度 建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 双层与单层窗传导的热量之比 k1 4 10 3 8 10 3 k2 2 5 10 4 k1 k2 16 32 对Q1比Q2的减少量作最保守的估计 取k1 k2 16 建模 模型应用 取h l d 4 则Q1 Q2 0 03 即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比 可减少97 的热量损失 结果分析 Q1 Q2所以如此小 是由于层间空气极低的热传导系数k2 而这要求空气非常干燥 不流通 房间通过天花板 墙壁 损失的热量更多 双层窗的功效不会如此之大 2 4汽车刹车距离 不讲 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则 背景与问题 正常驾驶条件下 车速每增10英里 小时 后面与前车的距离增加一个车身的长度 实现这个规则的简便办法是 2秒准则 后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志 而不管车速如何 判断 2秒准则 与 车身 规则是否一样 建立数学模型 寻求更好的驾驶规则 问题分析 常识 刹车距离与车速有关 10英里 小时 16公里 小时 车速下2秒钟行驶29英尺 9米 车身的平均长度15英尺 4 6米 2秒准则 与 10英里 小时加一车身 规则不同 刹车距离 反应时间 司机状况 制动系统灵活性 制动器作用力 车重 车速 道路 气候 最大制动力与车质量成正比 使汽车作匀减速运动 车速 假设与建模 1 刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和 2 反应距离d1与车速v成正比 3 刹车时使用最大制动力F F作功等于汽车动能的改变 Fd2 mv2 2 F m t1为反应时间 且F与车的质量m成正比 反应时间t1的经验估计值为0 75秒 参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合k 模型 最小二乘法 k 0 0256 2秒准则 应修正为 t秒准则 模型 2 5划艇比赛的成绩 对四种赛艇 单人 双人 四人 八人 4次国际大赛冠军的成绩进行比较 发现与浆手数有某种关系 试建立数学模型揭示这种关系 问题 准备 调查赛艇的尺寸和重量 问题分析 前进阻力 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 浆手的划浆功率 分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 对浆手体重 功率 阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型 模型假设 1 艇形状相同 l b为常数 w0与n成正比 2 v是常数 阻力f与sv2成正比 符号 艇速v 浸没面积s 浸没体积A 空艇重w0 阻力f 浆手数n 浆手功率p 浆手体重w 艇重W 艇的静态特性 艇的动态特性 3 w相同 p不变 p与w成正比 浆手的特征 模型建立 fsv2 pw s1 2A1 3 AW w0 nw n npfv 模型检验 利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型tn 1 9进行检验 与模型吻合 划艇比赛的成绩 对实际数据做比较 分析 发现并提出问题 利用物理基本知识分析问题 模型假设比较粗糙 利用合适的物理定律及简单的比例方法建模 只考虑各种艇的相对速度 模型结果与实际数据十分吻合 巧合 2 6动物的身长和体重 不讲 背景与问题 研究四足动物躯干的长度与体重的关系 家畜收购站 屠宰场 希望从躯干长度估计体重 不陷入各种动物生理结构的研究 问题分析 将动物躯干类比为圆柱形的弹性梁 四肢为支架 借助弹性力学的已有结果进行分析 假设与建模 1 躯干为圆柱体 长度l 直径d 断面面积s 2 圆柱体为弹性梁 四肢为支架 3 动物在自身体重f作用下 躯干最大下垂为b 梁的最大弯曲 4 弹性力学的已有结果 5 由f sl 得 b l是动物躯干的相对下垂度 在长期进化过程中每种动物的b l已经达到最合适的数值 即b l 常数 与动物尺寸无关 b l太大 四肢无法支撑 b l太小 四肢的尺寸超过支撑躯干的需要 不合乎生物进化论 对于一种四足动物 如生猪 由统计数据确定系数k l3 d2 f sl s d2 l3 d2 假设与建模 可以从躯干长度l估计动物体重f 动物的身长和体重 将动物躯干类比为弹性梁 充满想象力的大胆假设 转化为有确切研究成果的弹性梁在自重下的挠曲问题 类比法是数学建模的一种常用方法 问题 甲有物品X 乙有物品Y 双方为满足更高的需要 商定相互交换一部分 研究实物交换方案 用x y分别表示甲 乙 占有X Y的数量 设交换前甲占有X的数量为x0 乙占有Y的数量为y0 作图 若不考虑双方对X Y的偏爱 则矩形内任一点p x y 都是一种交换方案 甲占有 x y 乙占有 x0 x y0 y 2 7实物交换 甲的无差别曲线 分析与建模 如果甲占有 x1 y1 与占有 x2 y2 具有同样的满意程度 即p1 p2对甲是无差别的 将所有与p1 p2无差别的点连接起来 得到一条无差别曲线MN 线上各点的满意度相同 线的形状反映对X Y的偏爱程度 比MN各点满意度更高的点如p3 在另一条无差别曲线M1N1上 于是形成一族无差别曲线 无数条 无差别曲线族的性质 单调减 x增加 y减小 下凸 凸向原点 互不相交 在p1点占有x少 y多 宁愿以较多的 y换取较少的 x 在p2点占有y少 x多 就要以较多的 x换取
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