2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）第卷（选择题 共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分（1）【2016年上海，文1，4分】设，则不等式的解集为 【答案】【解析】，不等式，解得不等式解集为【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用（2）【2016年上海，文2，4分】设，其中为虚数单位，则的虚部等于 【答案】【解析】，则的虚部为【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（3）【2016年上海，文3，4分】已知平行直线，则与的距离是 【答案】【解析】平行直线，则与的距离：【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力（4）【2016年上海，文4，4分】某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为，则这组数据的中位数是 （米）【答案】【解析】将5位同学的身高按照从小到大进行排列为，则位于中间的数为，即中位数为【点评】本题主要考查中位数的求解，根据中位数的定义，将数据从小到大进行排列是解决本题的关键（5）【2016年上海，文5，4分】若函数的最大值为5，则常数 【答案】【解析】由于函数，其中，s，故的最大值为，【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题（6）【2016年上海，文6，4分】已知点在函数的图像上，则的反函数 【答案】【解析】将点带入函数的解析式得，所以，用表示得，所以【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（7）【2016年上海，文7，4分】若满足则的最大值为 【答案】【解析】画出可行域（如图），设，由图可知，当直线经过点时，最大，且最大值为【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法（8）【2016年上海，文8，4分】方程在区间上的解为 【答案】【解析】化简得：，所以，解得或（舍去），所以在区间上的解为【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力（9）【2016年上海，文9，4分】在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 【答案】112【解析】由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为，由题意得，所以，二项式的通项为，求常数项则令，所以，所以【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题（10）【2016年上海，文10，4分】已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 【答案】【解析】利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为，所以此角的正弦值为，由正弦定理得，所以【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题（11）【2016年上海，文11，4分】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 【答案】【解析】甲同学从四种水果中选两种，选法种数为，乙同学的选法种数为，则两同学的选法种数为种两同学相同的选法种数为由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题（12）【2016年上海，文12，4分】如图，已知点，是曲线上一个动点，则的取值范围是 【答案】【解析】设，则，由，得：， ，令，则，的范围是【点评】本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题，是一道基础题（13）【2016年上海，文13，4分】设，若关于的方程组无解，则的取值范围是 【答案】【解析】解法1：将方程组中的（1）式化简得，代入（2）式整理得，方程组无解应该满足且，所以且，所以由基本不等式得解法2：关于，的方程组无解，直线与平行，即，且，则，则，则设，则函数的导数，当时，此时函数为减函数，此时，当时，此时函数为增函数，综上，即的取值范围是【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键（14）【2016年上海，文14，4分】无穷数列由个不同的数组成，为的前项和若对任意，则的最大值为 【答案】4【解析】解法1：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为，所以最多由4个不同的数组成解法2：对任意，可得当时，或；若，由，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，；若，由，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，；或3，0，0；或3，0，；或3，1，0；或3，1，；若，由，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，；或2，1，0，0；或2，1，0，；或2，1，0；或2，1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，；或3，0，0；或3，0，1；或3，0，0；或3，0，1；或3，1，0；或3，1，；即有后一项都为0或1或，则的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，或3，0，1，故答案为：4【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分（15）【2016年上海，文15，5分】设，则“”是“”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】，所以是充分非必要条件，故选A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础（16）【2016年上海，文16，5分】如图，在正方体中，、分别为、 的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ） （A）直线 （B）直线 （C）直线 （D）直线【答案】D【解析】根据异面直线的概念可看出直线，都和直线为异面直线；和在同一平面内，且这两直线不平行；直线和直线相交，故选D【点评】考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状（17）【2016年上海，文17，5分】设，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】B 【解析】对于任意实数都有，则函数的周期相同，若，此时，此时，若，则方程等价为，则，则，综上满足条件的有序实数组为，共有2组，故选B【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键（18）【2016年上海，文18，5分】设、是定义域为的三个函数，对于命题：若、均为增函数，则、中至少有一个增函数；若、均是以为周期的函数，则、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ） （A）和均为真命题 （B）和均为假命题（C）为真命题，为假命题 （D）为假命题，为真命题【答案】D【解析】解法1：因为必为周期为的函数，所以正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此不一定，故选D解法2：不成立可举反例：，前两式作差可得：，结合第三式可得：，同理可得：，因此正确，故选D【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题目三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤（19）【2016年上海，文19，12分】将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形 成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小解：（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径圆柱的体积，圆柱的侧面积（2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为与所成的角由长为，可知，由长为，可知，所以异面直线与所成的角的大小为【点评】本题考查几何体的体积侧面积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养（20）【2016年上海，文20，14分】有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图（1）求菜地内的分界线的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设 是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值 解：（1）设分界线上任一点为，依题意，可得（2）设，则，设所表述的矩形面积为，则，设五边形面积为，则，五边形的面积更接近的面积【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大（21）【2016年上海，文21，14分】双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率解：（1）设由题意，因为是等边三角形，所以，即，解得故双曲线的渐近线方程为 （2）由已知，设，直线由，得因为与双曲线交于两点，所以，且由，得，故，解得，故的斜率为【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了双曲线的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题（22）【2016年上海，文22，16分】对于无穷数列与，记，若同时满足条件：，均单调递增；且，则称与是无穷互补数列（1）若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若且与是无穷互补数列，求数列的前16项的和；（3）若与是无穷互补数列，为等差数列且，求与得通项公式解：（1）因为，所以，从而与不是无穷互补数列（2）因为，所以数列的前16项的和为 （3）设的公差为，则由，得或若，则，与“与是无穷互补数列”矛盾；若，则，综上，【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算和推理能力，属于中档