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极坐标与参数方程高考题的几种常见题型一、极坐标方程与直角坐标方程的互化例1(2007海南宁夏)O1和O2的极坐标方程分别为,(I)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(II)求经过O1,O2交点的直线的直角坐标方程解: (I),由得所以即为O1的直角坐标方程同理为O2的直角坐标方程(II)解:由,两式相减得4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=x二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型例2(2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 23)以直角坐标系的原点为极点,轴非负半轴为极轴,在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为,曲线的参数方程为,点是曲线上的一动点.()求线段的中点的轨迹方程; () 求曲线上的点到直线的距离的最小值.解析()设中点的坐标为,依据中点公式有(为参数),这是点轨迹的参数方程,消参得点的直角坐标方程为. (5分)()直线的普通方程为,曲线的普通方程为,表示以为圆心,以2为半径的圆,故所求最小值为圆心到直线 的距离减去半径,设所求最小距离为d,则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为. 三、求曲线的交点坐标例3(2010东北三校第一次联合考试)在极坐标系下,已知圆和直线。(1)求圆和直线的直角坐标方程;当时,求直线于圆公共点的极坐标。解:(1)圆,即圆的直角坐标方程为:,即直线,即则直线的直角坐标方程为:,即。(2) 由得 故直线与圆公共点的一个极坐标为。4、 根据条件求直线和圆的极坐标方程例4(2009辽宁)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos()=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点。(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标; (2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程。解:()由 C直角方程为()M点的直角坐标为(2,0)N点的直角坐标为 P点的直角坐标为直线OP极坐标方程为5、 参数方程的问题例5(2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,23)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)设为曲线上的动点,求点到上点的距离的最小值,并求此时点的坐标.解析(1)由曲线: 得两式两边平方相加得:即曲线的普通方程为: 由曲线:得:所以即曲线的直角坐标方程为: (2) 由(1)知椭圆与直线无公共点,椭圆上的点到直线的距离为 所以当时,的最小值为,此时点的坐标为1. (2014山西太原高三模拟考试(一),23)在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为,且曲线C1上的点M(2,)对应的参数 . 且以O为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线与曲线C2交于点. (I)求曲线C1的普通方程,C2的极坐标方程;()若 是曲线C1上的两点,求的值.2.(2014福州高中毕业班质量检测, 21(2)在平面直角坐标系中, 以为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为, 直线l的参数方程为: (为参数) ,两曲线相交于, 两点.()写曲线直角坐标方程和直线普通方程;()若, 求的值解析 () (曲线的直角坐标方程为, 直线的普通方程. (4分)() 直线的参数方程为(为参数),代入, 得到, , 对应的参数分别为, ,则 3. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),23)已知直线的参数方程为:,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.()求曲线的参数方程;()当时,求直线与曲线交点的极坐标.解析 ()由,可得所以曲线的直角坐标方程为,标准方程为,曲线的极坐标方程化为参数方程为(5分)()当时,直线的方程为,化成普通方程为,由,解得或,所以直线与曲线交点的极坐标分别为,;, .4. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,23) 已知在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 ()求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;()设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的取值范围.解析()直线的普通方程为,C直角坐标方程为.()设点,则,所以的取值范围是. (10分)5.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,23)选修44: 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为参数)以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系()求圆C的极坐标方程;()直线的极坐标方程是,射线与圆C的交点为O、P,与直线的交点为Q,求线段PQ的长6.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 23) 已知曲线C的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是(t是参数) (I) 将曲线C的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程;() 若直线与曲线C相交于A,B两点,且,试求实数m的值7.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试,23)已知直线的参数方程为为参数) ,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为(1)求圆的直角坐标方程;(2)若是直线与圆面的公共点,求的取值范围解析(1)圆的极坐标方程为所以又所以所以圆的普通方程(2)设由:所以圆的圆心是,半径是 将代入得又直线过,圆的半径是,所以即的取值范围是8.(2014周宁、政和一中第四次联考,21)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数)()将的方程化为普通方程;()以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线的极坐标方程是, 求曲线与交点的极坐标.解析()依题意,的普通方程为,()由题意,的普通方程为,代入圆的普通方程后得,解得,点、的直角坐标为,从而,. (7分)9.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 21C) 在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程是(为参数);以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的极坐标方程为. 由直线上的点向圆引切线,求切线长的最小值.解析因为圆的极坐标方程为,所以,所以圆的直角坐标方程为,圆心为, 半径为1, (4分)因为直线的参数方程为(为参数),所以直线上的点向圆C 引切线长是,所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是. (10分)10. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 23)已知曲线 (t为参数) , (为参数)()化,的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;()过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A,B两点,求.解析解()曲线为圆心是,半径是1的圆.曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长轴长是8,短轴长是6的椭圆. (4分) ()曲线的左顶点为,则直线的参数方程为(为参数)将其代入曲线整理可得:,设对应参数分别为,则所以. (10分)11. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 23) 在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数). 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点,直线的极坐标方程为.()判断点与直线的位置关系,说明理由;() 设直线与直线的两个交点为、,求的值.解析()直线即, :,点在上. () 直线的参数方程为(为参数),曲线C的直角坐标方程为,将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,有,设两根为,. (10分)12. (2014兰州高三第一次诊断考试, 23)在直角坐标系中,以原点O为极点,以轴正半轴为极轴,与直角坐标系取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C参数方程为(为参数),直线的极坐标方程为. ()写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程; ()求曲线C上的点到直线的最大距离,并求出这个点的坐标.解析()由得,则直线的普通方程为. 由得曲线的普通方程为. (5分)()在 上任取一点,则点到直线的距离为 , 当,即时, ,此时点. (10分)14. (河南省商丘市2014届高三第三次模拟考试数学(理)试题)在极坐标系中,已知圆C的圆心,半径r= ( I)求圆C的极坐标方程;()若,直线的参数方程为(t为参数),直线交圆C于A、B两点,求弦长|AB|的取值范围解:()直角坐标,所以圆的直角坐标方程为,2分由得,圆C的直角坐标方程为5分()将,代入的直角坐标方程,得 ,则 ,设,对应参数分别为,则, 因为,所以所以,所以的取值范围为 15.(南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学试题)在平面直角坐标系xOy中,已知M是椭圆1上在第一象限的点,A(2,0),B(0,2)是椭圆两个顶点,求四边形OAMB的面积的最大值解:设M(2cos,2sin),(0,)由题知OA2,OB2, 2分四边形OAMB面积SOA2sinOB2cos2sin2cos2sin() 所以当时,四边形OAMB的面积的最大值为2 10分16.(甘肃省张掖市2014届高三第三次诊断考试数学(理)试题)在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程是(为参数);以 为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的极坐标方程为()写出直线的普通方程与圆的直角坐标方程;()由直线上的点向圆引切线,求切线长的最小值.【解析】: () ,曲线C: 4分 ()因为圆极坐标方程,所以,所以圆的直角坐标方程为,圆心为,半径为1,因为直线的参数方程为(为参数),所以直线上的点向圆C 引切线长是所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 10分17.(黑龙江省大庆市2014年高三第次模拟考试数学(理)试卷)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数),为直线与曲线的公共点,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求点的极坐标;(II)将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线,过点作直线,若直线被曲线截得的线段长为,求直线的极坐标方程.解:(I)的普通方程为。将代入上式整理得,解得故点的坐标为,其极坐标为. 5分(II)坐标变换式为故的方程为,即7分当直线的斜率存在时,设其方程为,即,由圆心到直线距离得,直线为,当直线的斜率不存在时,其方程为,显然成立.故直线的极坐标方程为或. 10分18.(2014年长春市高中毕业班第二次调研测试)已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为(1)求圆的直角坐标方程;(2)若是直线与圆面的公共点,求的取值范围【解析】:(1)圆的极坐标方程为 又,所以所以圆的普通方程(2)解法1:设由圆的方程所以圆的圆心是,半径是将代入得又直线过,圆的半径是,所以,所以即的取值范围是19. (昆明第一中学2014届高三第五次月考)以直角坐标
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