2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知当时，与是等价无穷小，则（ ）（A）k=1, c =4 （B） k=1,c =4 （C） k=3,c =4 （D） k=3,c =4【答案】 （C）【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式【难易度】【详解】解析：方法一：当时，故选择（C）.方法二：当时，故，选（C）.（2）已知函数在x=0处可导，且=0，则= （ ）（A） 2 （B） （C） （D） 0.【答案】（B）【考点】导数的概念【难易度】【详解】解析：.故应选（B）（3）设是数列，则下列命题正确的是 （ ） （A）若收敛，则收敛 （B）若收敛，则收敛（C） 若收敛，则收敛 （D）若收敛，则收敛【答案】（A）【考点】级数的基本性质【难易度】【详解】解析：由于级数是级数经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当收敛时，也收敛，故（A）正确.（4）设，则的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（B）【考点】定积分的基本性质/4【难易度】【详解】解析：如图所示，因为时，因此，故选（B）（5）设为3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，记，则= （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（D）【考点】矩阵的初等变换【难易度】【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知，所以，故选（D）（6）设为矩阵，是非齐次线性方程组的个线性无关的解，为任意常数，则的通解为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（C）【考点】线性方程组解的性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解【难易度】【详解】解析：为的解，因为线性无关，故线性无关，为的解，故的通解为所以应选（C）. （7）设,为两个分布函数，其相应的概率密度与是连续函数，则必为概率密度的是 （ ） （A） （B）（C） （D）+【答案】（D）【考点】连续型随机变量概率密度【难易度】【详解】解析：故选（D）.（8）设总体X 服从参数为的泊松分布，为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量和，有 （ ） （A）, （B）,（C） （D）,【答案】（D）【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质【难易度】【详解】解析：由于是简单随机样本，且相互独立，从而，故又，故选（D）.二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） 设，则 .【答案】【考点】重要极限公式【难易度】【详解】解析：所以有.（10） 设函数，则 .【答案】【考点】多元复合函数的求导法【难易度】【详解】解析：两边取对数得，由一阶微分形式不变性，两边求微分得 将，代入得（11） 曲线在点处的切线方程为 .【答案】【考点】隐函数微分法【难易度】【详解】解析：两边对求导得，所以在点处，从而得到曲线在点处的切线方程为.（12） 曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 .x2y10【答案】【考点】定积分的应用【难易度】【详解】解析：（13） 设二次型的秩为1，中各行元素之和为3，则在正交变换下的标准形为 .【答案】【考点】用正交变换化二次型为标准形【难易度】【详解】解析：的各行元素之和为3，即所以是的一个特征值.又因为二次型的秩.因此，二次型的标准形为：.（14）设二维随机变量服从正态分布，则= .【答案】【考点】数学期望的性质；相关系数的性质【难易度】【详解】解析：因为，所以，,又因为，所以，相互独立.由期望的性质有。三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限【考点】无穷小量的比较；洛必达法则【难易度】【详解】解析：当时，（16）（本题满分10分）已知函数具有连续的二阶偏导数，是的极值，.求【考点】多元复合函数的求导法；二阶偏导数；多元函数的极值【难易度】【详解】解析：为的极值（17）（本题满分10分）求不定积分【考点】不定积分的基本性质；不定积分的换元积分法与分部积分法【难易度】【详解】解析：其中是任意常数.（18）（本题满分10分）证明方程恰有两个实根.【考点】闭区间上连续函数的性质；函数单调性的判别【难易度】【详解】解析：令，则当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减；又因为.是函数在上唯一的零点.又因为且由零点定理可知，使,方程恰有两个实根.（19）（本题满分10分）设函数在区间具有连续导数，且满足, ，求的表达式.【考点】二重积分的计算；一阶线性微分方程【难易度】【详解】解析：因为，.两边对求导，得,解齐次方程得由，得. 所以函数表达式为.（20）（本题满分11分）设向量组， 不能由向量组, , 线性表出.（I）求的值 ；（II）将，用，线性表出.【考点】向量组的线性相关与线性无关；矩阵的初等变换【难易度】【详解】解析：（I）因为，所以线性无关，又因为不能由线性表示，所以，所以，所以（II）=故，（21）（本题满分11分）为3阶实对称矩阵，的秩为2，且（I）求的所有特征值与特征向量;（II）求矩阵.【考点】矩阵的秩；矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；实对称矩阵的特征值和特征向量【难易度】【详解】解析：（I）因为所以，所以是的特征值，是对应的特征向量；是的特征值，是对应的特征向量.因知，所以是的特征值.设是属于特征值的特征向量，因为为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量相互正交，即 解得故矩阵的特征值为；特征向量依次为，其中均是不为0的任意常数. （II）将单位化得，令，则所以.（22）（本题满分11分）设随机变量与的概率分布分别为XPY1P且.（I） 求二维随机变量的概率分布；（II） 求的概率分布；（III） 求与的相关系数.【考点】二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布；两个随机变量简单函数的分布；相关系数【难易度】解析：（I）因为，所以即又因为所以的概率分布为X Y-101Y00010X1（II） 的所有可能取值为-1，0，1 .的概率分布为Z-101p1/31/31/3 （） ，故，从而.（23）（本题满分11分）设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由与所围成的三角形区域.（I）求的概率密度；（II）求条件概率密度.【考点】二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度；常见二维随机变量的分布【难易度】【详解】解析：（I）因为所以的联合密度为由于当或时，.当时，；当时，；所以 （II）当或时，.当时，； 所以14