第五节柯西积分公式 一 问题的提出 二 柯西积分公式 三 典型例题 四 小结与思考 2 一 问题的提出 根据闭路变形原理知 该积分值不随闭曲线C的变化而改变 求这个值 3 4 二 柯西积分公式 定理 证 5 6 上不等式表明 只要R足够小 左端积分的模就可以任意小 根据闭路变形原理知 左端积分的值与R无关 所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能 证毕 柯西积分公式 柯西介绍 7 关于柯西积分公式的说明 1 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示 这是解析函数的又一特征 2 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法 而且给出了解析函数的一个积分表达式 这是研究解析函数的有力工具 3 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 8 三 典型例题 例1 解 9 由柯西积分公式 10 例2 解 由柯西积分公式 11 例3 解 由柯西积分公式 12 例 解 根据柯西积分公式知 13 例5 解 14 例5 解 15 由闭路复合定理 得 例5 解 16 例6 解 根据柯西积分公式知 17 比较两式得 18 课堂练习 答案 19 四 小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式 它的证明基于柯西 古萨基本定理 它的重要性在于 一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示 所以它是研究解析函数的重要工具 柯西积分公式 20 思考题 柯西积分公式是对有界区域而言的 能否推广到无界区域中 21 思考题答案 可以 其中积分方向应是顺时针方向 放映结束 按Esc退出 22 Augustin LouisCauchy Born 21Aug1789inParis FranceDied 23May1857inSceaux nearParis France 柯西资料 23 作业 P798 1 4 6 10 9