第 5 章 不定积分 一 不定积分的概念和性质 若 Fxf x 则 d f xxF xC C为积分常数不可丢 性质 1 d f xxf x 或d d df xxfxx或 d d f xxf x dx 性质 2 d FxxF xC或d F xF xC 性质 3 df xg xx d df xxg xx 或 d d df xg xxf xxg xx d dkf xxkf xx 二 基本积分公式或直接积分法 基本积分公式 dk xkxCdxx 1 1 1 xC 为常数且1 1 d x x ln xC e d x xe x Cd x ax ln x a C a cos dx xsinxCsindx xcosxC 2 d cos x x 2 secdx xtanxC 2 d sin x x 2 cscdx xcot xC sec tan dxx xsecxCcsccot dxx xcscxC 2 d 1 x x arctanxC arccot xC 2 d 1 x x arcsinxC arccosxC 直接积分法 对被积函数作代数变形或三角变形 化成能直接套用基本积分公式 代数变形 主要是指因式分解 加减拆并等 三角变形 主要是指三角恒等式 三 换元积分法 1 第一类换元法 凑微分法 d d d d ux ux g xxfxxxfxxf uuF uC 注 1 常见凑微分 2 1111 2 ln 2 dxd axcxdxd xcdxdxcdxdxc ax x 2 2 11 tan cot arcsin cos 1 1 dxd arcxd arcxdxdxd arcx x x 2 适用于被积函数为两个函数相乘的情况 若被积函数为一个函数 比如 22 d1 d xx exex 若被积函数多于两个 比如 4 sincos d 1sin xx x x 要分成两类 3 一般选择 简单 熟悉 的那个函数写成 x 4 若被积函数为三角函数偶次方 降次 奇次方 拆项 2 第二类换元法 1 1 d d d xt tx tx f xxftttftttG tC 常用代换类型 对被积函数直接去根号 到代换 1 x t 三角代换去根号 22 tanxaxat 22 secxaxat 22 sin cos axxat or xat d n f xaxbx n taxb 22 df xxax secxat 22 dfxaxx sinxat 22 dfxaxx tanxat d x f ax x ta d a xb n c x d f xx a x b n c x d t 三 分部积分法 dduvxu v dduvv uuvu v x 注 1 u的选取原则 按 反对幂三指 的顺序 谁在前谁为u 后面的为v 2 du vx要比duvx容易计算 3 适用于两个异名函数相乘的情况 若被积函数只有一个 比如 arcsin1xdx x edx tx 4 多次使用分部积分法 uuu vv v 求导 积分