1 机器人技术基础 第四章机器人雅可比矩阵 ManipulatorJacobian 课程的基本要求 掌握运动和力雅可比矩阵的物理含义及基本的求解方法 2 4 1雅可比矩阵的定义 3 回顾 基本概念 刚体位姿描述和齐次变换齐次坐标 欧拉角与RPY角齐次变换和齐次变换矩阵的运算操作臂运动学连杆参数 连杆坐标系连杆变换和运动学方程机器人关节空间与操作空间 4 关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置 关节空间 操作空间 运动学正解 运动学反解 5 关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度 关节空间 操作空间 运动学正解 运动学反解 6 4 1雅可比矩阵的定义 Jacobianmatrix 操作空间速度与关节空间速度之间的线性变换 式中 称为末端在操作空间的广义速度 简称为操作速度 为关节速度 是6 n的偏导数矩阵 称为操作臂的雅可比矩阵 它的第i行第j列元素为 i 1 2 6 j 1 2 n 7 假设矢量y Rm为u Rn的函数y y u y相对于u的偏导数定义为 对于m 1 标量对矢量的导数 8 根据上述一般数学定义 对于6关节机器人 设有6个各含6个独立变量的函数 简写为x f q 求微分 注意 如果函数f1 q 到f6 q 是非线性的 则是q的函数 写成 式子两边同除以时间的微分 上式中 6 6的偏导数矩阵J q 叫做雅可比矩阵 其中 9 雅可比矩阵 机器人关节数 雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型 10 雅可比矩阵在机器人中的应用 11 可以把雅可比矩阵看作是关节的速度变换到操作速度V的变换矩阵在任何特定时刻 q具有某一特定值 J q 就是一个线性变换 在每一新的时刻 q已改变 线性变换也因之改变 所以雅可比矩阵是一个时变的线性变换矩阵 在机器人学领域内 通常谈到的雅可比矩阵是把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联系在一起的 必须注意到 对于任何给定的操作臂的结构和外形 关节速度是和操作臂末端的直角坐标速度成线性关系 但这只是一个瞬间关系 12 13 例4 1 将平面2R机械手的运动学方程两端分别对时间t求导 则得其雅可比矩阵为 平面2R机械手的运动学方程为 14 对于关节空间的某些形位q 操作臂的雅可比矩阵的秩减少 这些形位称为操作臂的奇异形位 操作臂的雅可比矩阵的秩减少的形位 数学上 操作臂在操作空间的自由度将减少 物理上 singularconfiguration 15 例4 1 可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位 当 2 90或 2 0时 机械手的雅可比行列式为0 矩阵的秩为1 因而处于奇异状态 从几何上看机械手完全伸直 2 0 或完全缩回 2 180 时 机械手末端丧失了径向自由度 仅能沿切向运动 在奇异形位时 机械手在操作空间的自由度将减少 16 例4 2如图所示 为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以lm s的速度运动 求相应的关节速度 解 由可以看出 只要机械手的雅可比J q 是满秩的方阵 相应的关节速度即可解出对于平面2R机械手 运动学方程为 平面2R机械手的速度反解 17 例4 2如图所示 为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以lm s的速度运动 求相应的关节速度 解 雅可比J q 为 于是得到与末端速度相应的关节速度反解为 逆雅可比可为 18 讨论 机械手接近奇异形位时 关节速度将趋于无穷大 当 2 0 2 180时 机械手在水平位置 19 例 物理仿真中的雅可比矩阵 约束函数C x 单位圆上的质点位置约束为一般情况下 采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置 在3D空间 矢量长度为3n 考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q的未知函数 则速度约束矩阵被称作C的雅可比矩阵 记作J 为了进行物理仿真 求微分 根据力学关系 建立微分约束方程 基于物理仿真 20 21 22 23 24 25 26 27 28 例子2 立体视觉雅可比矩阵 两只CCD摄像机任意的安装在机器人手腕上 形成手眼机器人立体视觉系统 Xc Yc Zc 为摄像机坐标系 x y 为图像坐标系 CO为摄像机焦距f Xw Yw Zw 为世界坐标系 则根据上述透视投影关系 得到以世界坐标系表示的P点坐标与其投影点p的坐标 x y 的关系 摄像机成像模型 29 对上式两边求导 得 为世界坐标系到图像坐标系的雅可比映射矩阵 它是摄像机内外参数的函数 进一步 经过立体视觉摄像机定标 得到 其中 k代表摄像机1 2 上式为手眼机器人跟踪系统的视觉伺服控制方程 如果物体在世界坐标系下的速度已知 根据采样时间步长 t 前一帧图像位置x k 根据上式可以估计下一帧图像位置x k 1 则可通过控制摄像机位姿 可以实现对目标的跟踪 30 4 2微分运动与广义速度 31 4 2微分运动与广义速度刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量d和微分转动矢量 前者由沿三个坐标轴的微分移动组成 后者又绕三个坐标轴的微分转动组成 即将两者合并为6维列矢量D 称为刚体或坐标系的微分运动矢量 相应地 刚体或坐标系的广义速度V是由线速度v 组成的6维矢量 32 微分运动D和广义速度V是相对于参考坐标系而言的 例如 相对于坐标系 T 而言 用 表示 33 d 若相对于基坐标系的微分运动为D 则相对于坐标系 T 的微分运动为 T p n o a 注意 D的微分位移和旋转应看作通过基坐标系的原点的矢量 34 合并写为 35 对于任何三维矢量p px py pz T 其反对称矩阵S p 定义为S p 是一个叉积算子 易证S p p S p p T 36 微分位移的变换简写为式中 R n o a 是旋转矩阵 相应地 广义速度V的坐标变换为任意两坐标系 A B 之间广义速度的坐标变换为 37 4 3雅可比矩阵的构造法 38 雅可比矩阵J q 既可看成是从关节空间向操作空间速度传递的线性关系 也可看成是微分运动转换的线性关系 即对n个关节的机器人 J的每一列代表相应的关节速度对于手爪线速度和角速度的传递比 因此 可将雅可比矩阵分块为 4 3雅可比矩阵的构造法 关节速度 线速度 角速度 39 关节1速度引起手爪的线速度 下面采用构造性的方法直接构造出各项Jti和Jai 40 Whitney基于运动坐标系的概念提出求机器人雅可比的矢量积方法 如图所示 末端手爪的线速度v和角速度 与关节速度有关 1 对于移动关节i 2 对于转动关节i 标量 矢量 41 矢量积方法其中 表示手爪坐标原点相对坐标系 i 的位置矢量在基坐标系 o 中的表示 zi是坐标系 i 的z轴单位向量 在基坐标系 o 表示的 42 用矢量积方法计算J q 由于PUMA560的6个关节都是转动关节 因此其雅可比具有下列形式 4 4PUMA560的雅可比矩阵 43 4 5力雅可比 44 机器人与外界环境相互作用时 在接触的地方要产生力f和力矩n 统称为末端广义 操作 力矢量 记为例如 操作臂提取重物时承受的外载作用力和力矩 抓手对被抓物体的作用力和力矩 多足步行机构与地面的作用力和力矩 在静止状态下 广义操作力矢量f应与各关节的驱动力 或力矩 相平衡 n个关节的驱动力 或力矩 组成的n维矢量称为关节力矢量 预备知识 操作器的静力 45 利用虚功原理 可以导出关节力矢量 与相应的广义操作力矢量F之间的关系 令各关节的虚位移为 qi 末端执行器相应的虚位移为D 所谓虚位移 是满足机械系统几何约束的无限小位移 各关节所作的虚功之和W T q与末端执行器所作的虚功W FTD fTd nT 应该相等 总的虚功为零 即 将代入上式可得出 操作臂的力静态平衡 46 4 5力雅可比 式中 JT q 称为操作臂的力雅可比 它表示在静态平衡状态下 操作力向关节力映射的线性关系 上式也表示操作臂的力雅可比就是它的 运动 雅可比的转置 因此可以看出 操作臂的静力传递关系与速度传递关系紧密相关 具有对偶性 操作臂的力雅可比表示在静态平衡状态下 操作力向关节力映射的线性关系 47 当J q 退化时 即秩亏 操作臂处于奇异形位 J q 的零空间N J q 表示不产生操作速度的关节速度的集合 静力映射的零空间N JT q 代表不需要任何关节驱动力 矩 而能承受的所有操作力的集合 末端操作力完全由机构本身承受 而值域空间R JT q 则表示操作力能平衡的所有关节力矢量的集合 48 根据线性代数的有关知识 零空间N J q 是值空间R JT q 在n维关节空间的正交补 即对于任何非零的 N J q 则有 R JT q 反之亦然 其物理含义是 在不产生操作速度的这些关节速度方向上 关节力矩不能被操作力所平衡 为了使操作臂保持静止不动 在零空间N J q 的关节力矢量必须为零 49 在m维操作空间中存在着相似的对偶关系 R J q 是N JT q 在操作空间的正交补 因此 不能由关节运动产生的这些操作运动的方向恰恰正是不需要关节力矩来平衡的操作力的方向 反之 若外力作用的方向是沿着末端执行器能够运动的方向 则外力完全可以由关节力 矩 来平衡 当雅可比J q 退化时 操作臂处于奇异形位 零空间N JT q 不只包含0 因而外力可能承受在操作臂机构本身上 利用瞬时运动和静力的对偶关系 可以从瞬时运动关系推导出相应的静力关系 由式 4 18 可以导出两坐标系 A 和 B 之间广义操作力的坐标变换关系 50 例 双连杆平面机器人 p48 55 56 双连杆操作器 51 4 5雅可比的奇异性和灵巧度 一 雅可比的奇异性操作臂的雅可比依赖于形位q 关节空间的奇异形位q定义为操作臂6 n的雅可比的秩不是满秩的这些关节矢量q 即满足相应的操作空间中的点x x q 为工作空间的奇异点 在奇异形位处 操作臂丧失一个或多个操作自由度 粗略地讲 机器人的奇异形位分为两类 1 边界奇异形位 2 内部奇异形位 52 二 速度反解机器人在执行某一特定任务时 所需抓手独立运动参数的数目m随任务的性质而异 最多为6 有些则小于6 例如弧焊 喷漆等有对称轴线 独立运动参数是5个 带球形测头的机器人需要3个独立运动参数 用于圆柱铣刀加工的需要4个独立运动参数 用于端铣刀的需要4个独立运动参数 用于平面作业的机器人需要3个独立运动参数 独立运动参数的数目即为操作空间的维数m 1 当M n 且J q 是满秧时 机器人具有冗余自由度 冗余度定义为dim N J 2 当M n 且J q 是满秩的 称为满自由度 3 当M n 机器人是欠自由度的 53 对于满自由度的机器人 J q 是方阵 一般情况下 根据操作速度 可以反解出相应的关节速度 只是在奇异形位时 逆雅可比J 1 q 不存在 速度反解可能不存在 并且 在奇异点附近J q 矩阵是病态的 反解的关节速度矢量可能趋于无限大 操作臂的运动性能和动态性能变坏 实际上 若雅可比J q 是满秩方阵时 操作臂运动方程的速度反解为 雅可比矩阵的秩若J是方阵 且非奇异 求逆运算 54 对于冗余度机器人 其雅可比的列数多于行数 即n m 当J q 是满秩的时 冗余度为dim N J q n m 0其运动方程 4 2 的速度反解不唯一 解集合所包含的任意参数的数目等于冗余度dim N J q 其通解可表示为式中 是方程 4 2 的一特解 是J q 零空间的任意矢量 k是任意常数 冗余度机器人对于避免碰撞 避开奇异状态 增加操作臂的灵巧性 改善动态性能会带来好处 55 若 其中 是J的广义逆 56 操作臂雅可比的奇异性定性地描述了操作臂的运动灵巧性和运动性能 为了定量分析操作臂的灵巧性和速度反解的精度 提出了许多度量指标 所有这些指标在概念上都与雅可比的奇异值有关 根据矩阵的奇异值分解理论 对操作臂在任意形位的雅可比J q 进行奇异值分解 即式中 为正交矩阵 而 式中 1 2 m 0为J的奇异值 三 雅可比矩阵的奇异值分解 57 1 条件数 四 灵巧性度量指标 最大奇异值 最小奇异值 2 最小奇异值 操作臂形位具有各向同性 操作臂终端对于关节运动的响应越快 58 3 可操作性 可操作度 小节 计算雅克比速度映射力映射 59 作业 4 4 4 5 4 15 60 4 7刚度和变形 机械臂在外力