学 海 无 涯海淀区高三年级第二学期阶段性测试 数 学 2020春本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）已知集合，则集合可以是（A） （B）（C）（D）（3）已知双曲线的离心率为，则的值为（A）（B）（C）（D）（4）已知实数，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是 （A） （B） （C）（D）（5）在的展开式中，常数项为（A）（B）（C）（D）（6）如图，半径为的圆与直线相切于点，圆沿着直线滚动.当圆滚动到圆时，圆与直线相切于点，点运动到点，线段的长度为，则点到直线的距离为（A）1（B）（C）（D）（7）已知函数与函数的图象关于轴对称.若在区间内单调递减，则的取值范围为（A） （B） （C）（D）俯视图 左视图 主视图 1122（8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（A）（B）（C）（D） （9）若数列满足，则“，”是“为等比数列”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）形如（是非负整数）的数称为费马数，记为.数学家费马根据,都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那么的位数是（参考数据：）（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为 .（12）在等差数列中， ，则数列的前项的和为 .（13）已知非零向量，满足，则 .（14）在中，点在边上，则 ；的面积为 .CBO（15）如图，在等边三角形中，. 动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列三个结论：函数的最大值为；函数的图象的对称轴方程为；PA关于的方程最多有个实数根.其中，所有正确结论的序号是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题共14分）ECAB如图，在三棱柱中， 平面，点为的中点.（）求证：平面；（）求二面角的大小.（17）（本小题共14分）已知函数（）求的值；（）从，； ，这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在,上的最小值，并直接写出函数的一个周期.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。（18）（本小题共14分）科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从XXXX年到XXXX年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）.（）从XXXX年至XXXX年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（）从XXXX年至XXXX年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.（19）（本小题共15分）已知函数（）当时，求曲线在点处的切线方程；求函数的最小值；（）求证：当，时，曲线与有且只有一个交点（20）（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，的面积为.（）求椭圆的方程；（）设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点. 求证：为等腰三角形.（21）（本小题共14分）已知数列是由正整数组成的无穷数列. 若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质.（）分别判断下列数列是否具有性质；(直接写出结论) ； .（）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；（）已知数列中，且.若数列具有性质，求数列的通项公式.海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案 数 学 2020春阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 题号12345678910答案ABBDCCDCAB二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.题号1112131415答案0，注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）解：（）因为平面，平面所以. 在中，,所以.所以. 因为, 平面，所以平面. （）由（）知，,如图,以为原点建立空间直角坐标系. 则，.，. 设平面的法向量为，则 即令则，,所以. 又因为平面的法向量为， 所以. 由题知二面角为锐角，所以其大小为. （17）解：（）. （）选择条件.的一个周期为. . 因为,所以.所以 .所以 .当时，即时， 在取得最小值. 选择条件.的一个周期为. . 因为,所以.所以 当时，即时， 在取得最小值. （18）解：（）设事件A为“从XXXX年至XXXX年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从XXXX年至XXXX年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年， 所以. （）由图表信息，从XXXX年至XXXX年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以的所有可能取值为,. 且；. 所以的分布列为：012故的期望 （）本题为开放问题，答案不唯一. 要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分. （19）解：（）当时，则 所以 又， 所以曲线在点处的切线方程为 令，得. 0极小值此时，随的变化如下：可知，函数的最小值为1. （）由题意可知，. 令，则 由（）中可知，故 因为， 则 所以函数在区间上单调递增 因为, 又因为， 所以有唯一的一个零点.即函数与有且只有一个交点. （20）解：（）由题 解得 所以椭圆方程为. （II）解法1证明：设直线方程为，直线方程为 由解得点. 由得，则.所以，.即. .于是直线的方程为，直线的方程为.由解得点 . 于是，所以轴. 设中点为，则点的纵坐标为.故中点在定直线上. 从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，所以为等腰三角形. 解法2证明：设则. 直线方程为，直线方程为.由 解得点. 直线方程为，直线方程为.由解得点. . 于是，所以轴. .故中点在定直线上. 从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，所以为等腰三角形. （21）解：（）数列具有“性质”；数列不具有“性质”.