第二节复数的几何表示 一 复平面 二 复球面 三 小结与思考 一 复平面 1 复平面的定义 2 复数的模 或绝对值 显然下列各式成立 3 复数的辐角 说明 辐角不确定 顺时针角度为负 辐角主值的定义 辐角主值与实部虚部关系 4 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致 5 复数和差的模的性质 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 欧拉介绍 6 复数的三角表示和指数表示 例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式 解 故三角表示式为 找出模与幅角 指数表示式为 故三角表示式为 指数表示式为 例2 解 三角式 指数式 例3 证 两边同时开方得 例4 证 两边平方 并化简得 下面例子表明 很多平面图形能用复数形式的方程 或不等式 来表示 也可以由给定的复数形式的方程 或不等式 来确定它所表示的平面图形 例5 解 所以它的复数形式的参数方程为 例6 证 两边同时平方 例7 求下列方程所表示的曲线 解 化简后得 二 复球面 1 南极 北极的定义 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用球面上的点来表示复数 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应 这样的球面称为复球面 2 复球面的定义 我们规定 复数中有一个唯一的 无穷大 与复平面上的无穷远点相对应 记作 因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示 3 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面 或简称复平面 复球面的优越处 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来 对于复数来说 实部 虚部 辐角等概念均无意义 它的模规定为正无穷大 三 小结与思考 学习的主要内容有复数的模 辐角 复数的各种表示法 并且介绍了复平面 复球面和扩充复平面 注意 为了用球面上的点来表示复数 引入了无穷远点 无穷远点与无穷大这个复数相对应 所谓无穷大是指模为正无穷大 辐角无意义 的唯一的一个复数 不要与实数中的无穷大或正 负无穷大混为一谈 思考题 是否任意复数都有辐角 思考题答案 否 它的模为零而辐角不确定 放映结束 按Esc退出 LeonhardEuler Born 15April1707inBasel SwitzerlandDied 18Sept1783inStPetersburg Russia 欧拉资料