高等代数课件 第一章多项式 1 1数域 代数与几何教研室 一 数域 二 数域的性质 三 数学归纳法 1 1数域 一 数域 设P是由一些复数组成的集合 其中包括 数不为0 仍是P中的数 则称P为一个数域 0与1 如果P中任意两个数的和 差 积 商 除 例 复数集C 实数集R 有理数集Q都是数域 注 自然数集N 整数集Z都不是数域 Remark 1 若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P 中 则说数集P对这个运算是封闭的 2 数域的等价定义 如果一个包含0 1在内的数 集P对于加法 减法 乘法与除法 除数不为0 是封闭的 则称集P为一个数域 是一个数域 例1 证明 数集 证 又对 设 则有 设 或 矛盾 否则 若 则 于是有 为数域 例2 设P是至少含两个数的数集 证明 若P中任 意两个数的差与商 除数 0 仍属于P 则P为一 一个数域 有 证 由题设任取 所以 P是一个数域 时 时 二 数域的性质 定理 任意数域P都包括有理数域Q 即 有理数域为最小数域 证明 设P为任意一个数域 由定义可知 于是有 进而有 而任意一个有理数可表成两个整数的商 设P为非空数集 若 则称P为一个数环 Remark 例如 整数集Z就作成一个数环 数环 三 数学归纳法 作业 S是数域吗 证明 集合是一个数环 1 若为数域 证明 也为数域