2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学一模拟试卷（I）一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设数列对任意的正整数满足，则（ ）.（A）数列均收敛，且（B）数列均发散，且（C）数列具有相同的敛散性（D）数列具有不同的敛散性（2）设满足，则有（ ）.（A）是的极大值 （B）是的极小值（C）是的拐点 （D）不是的极值，也不是的拐点（3）设函数在点处的两个偏导数、都存在，则（A）在点处必连续 （B）在点处必可微（C） （D）存在（4）下列命题中正确的是（ ）.（A）设正项级数发散，则（B）设收敛，则收敛（C）设收敛，则均收敛（D）设中至少有一个发散，则发散（5）设为阶方阵，且，则必有（ ）.（A） （B） （C） （D）（6）若的解都是的解，则下列结论中正确的是（ ）.（A）的行向量组等价 （B）的列向量组等价（C）的行向量组可由的行向量组线性表示（D）的行向量组可由的行向量组线性表示（7）设随机变量，且，则 （A） （B） （C） （D）（8）设总体，其中已知，是来自总体的样本，样本方差2，则（ ）. （A） （B） （C） （D）二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）_.（10）_.（11）函数在点处方向导数的最大值是_. （12）微分方程的通解为_.（13）设均为三阶方阵，且，则_.（14）设随机变量的概率密度函数和分布函数分别为和，当时，；当时，则当，_.三、解答题：1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设，确定函数，求.（16）（本题满分10分）设函数、在上有连续二阶导数，若，其中. 证明：在内至少存在一点，使得.（17）（本题满分10分）设有二阶连续偏导数，有二阶导数，令，求.（18）（本题满分10分）设函数具有一阶连续偏导数，是以和为直径的左上半圆周，方向从到，计算曲线积分：.（19）（本题满分10分）将函数展开为的幂级数，并求级数的和.（20）（本题满分11分）（I）设维向量组线性相关，证明：可唯一地由线性表示的充要条件是线性无关；（II）设4维向量组，且可唯一地由线性表示，求常数满足的条件.（21）（本题满分11分）设三阶实对称矩阵的秩为，且，其中，求的所有特征值与特征向量，并求矩阵及.（22）（本题满分11分）设随机变量，其中为常数，问取何值时，与不相关，此时与是否独立?（23）（本题满分11分）已知一批产品的次品率为，现从中任意抽取件产品进行检验.（I）若已知件产品中有3件次品，求的矩估计值；（II）试利用中心极限定理，确定至少要取多少时，才能使得次品数占总数比例不大于的概率不小于.（）2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学一模拟试卷（II）一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于（ ）.（A） （B） （C） （D）（2）设极限，则函数在点处必（ ）.（A）取极大值 （B）取极小值 （C）可导 （D）不可导（3）若在点处存在任意方向的方向导数，则（ ）. （A）在点处连续 （B）在点处可微 （C）均存在 （D）以上结论均不正确 （4）数列均满足(). 则下列命题正确的是（ ） （A）数列均收敛，则数列收敛 （B）数列均发散，则数列发散（C）若级数均发散，则级数发散（D）若级数均收敛，则级数收敛（5）设为矩阵，为阶单位阵，则下列结论 经初等行变换为； 经初等列变换为； 正定； 正定； 必有解； 仅有零解 中正确的个数为（ ）.（A） （B） （C） （D）（6）设，则以下正确的是（ ）.（A） （B）与相似（C）与合同但不相似 （D）与等价但不合同（7）根据下列函数的图形，指出可作为某随机变量的分布函数的是（ ）. （A） （B） （C） （D）（8）设为来自总体的一个简单随机样本，则下列统计量中，是的无偏估计且方差最小的为（ ）.（A） （B） （C） （D）二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）设函数，则使得存在的最大正整数_.（10）由半圆周与三条直线所围成的平面图形的形心坐标为_.（11）二次积分_.（12）微分方程的特解形式为_.（13）设三阶矩阵，三维列向量，若向量线性相关，则_（14）设随机变量，且与独立，若已知，则三、解答题：1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设，证明：，其中为正整数.（16）（本题满分10分）设是区间上单调增加的连续函数，且，. 证明： （I）存在点，使得；（II）存在点，使得.（17）（本题满分10分）若曲线上任一点处的切线在轴上的截距等于该点处法线在轴上的截距的倍，且该曲线过点，求该曲线方程.（18）（本题满分10分）计算曲面积分，其中为上半球球面的上侧.（19）（本题满分10分）求幂级数的收敛域与和函数.（20）（本题满分11分）确定参数的值，使线性方程组有解，并求其解（将通解用该方程的一个的特解及其导出组的基础解系表示）.（21）（本题满分11分）设，. （I）求的所有特征值和特征向量； （II）当为何值时，为正交阵； （III）当为何值时，为正定阵.（22）（本题满分11分）设有四个编号分别为的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记为至少有一个球的盒子的最小号码.（I）求的分布律；（II）若当时，随机变量在上服从均匀分布，求.（23）（本题满分11分）设是来自正态总体的一个简单随机样本. （I）求的极大似然估计量，并判断其无偏性； （II）求估计量的方差； （III）问是否为的一致估计量?2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（III）一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知数列满足，且，则（ ）.（A） （B）不存在，但不是 （C） （D）存在，但不是（2）设函数在点的某邻域内连续，在内可导，则“极限存在”是“在处可导”的（ ）.（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（3）设在区域内具有二阶偏导数，则（ ）.（A）必有 （B）在内必连续（C）在必可微分 （D）以上三个结论都不正确（4）设正项级数收敛，则级数（ ）.（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不定（5）设为同阶可逆方阵，具有相同的特征值，则（ ）.（A） （B）存在可逆矩阵，使得（C）存在可逆矩阵，使得 （D）存在可逆矩阵，使得（6）设阶方阵的伴随矩阵，若是线性方程组的三个互不相等的解，则的基础解系为（ ）.（A） （B），（C）， （D）， （7）设为样本空间，为随机事件，且满足，则（ ）.（A） （B） （C） （D）（8）设是来自的一个简单随机样本，未知，2，为分布的上分位点，则的置信度为的置信区间为（ ）. （A） （B） （C） （D）二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）若表示不超过的最大整数，则_.（10）曲线在点处的曲率圆方程为_.（11）设是上半圆周，则_.（12）设为可导函数，且均满足，则_.（13）向量组，的极大线性无关组为_.（若有多组，只需填写一组）（14）设有张奖券，其中张为元，张为