2016 2017 学年上学期高二期末数学试卷 理科 考试时间 120 分钟总分 150 分 一 选择题一 选择题 60 60 分 每小题只有唯一答案正确分 每小题只有唯一答案正确 1 a b 2 是 直线 x y 0 与圆 x a 2 y b 2 2 相切 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 2 下列推断正确的个数 命题 若 2 320 xx 则1x 的逆否命题为 若1x 则 2 320 xx x R x 2 1 1 的否定是 x0 R x0 2 1 1 1x 是 2 320 xx 的充分不必要条件 A 0B 1C 2D 3 3 如图 修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接 相切 已知环湖弯曲路段为某三次函数图像 的一部分 则该函数的解析式为 A y x 3 x2 x B y x 3 x2 3x C y x 3 x D y x 3 x2 2x 4 如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1 2 3 第 2 小组的频数为 10 则抽取的学生人数为 A 20B 30C 40D 50 5 已知 F 是椭圆 1 a b 0 的左焦点 A 为右顶点 P 是椭圆上一点 且 PF x 轴 若 PF AF 则该椭圆的离心率是 A B C D 6 设函数 f x 在 R R 上可导 其导函数为 f x 且函数 f x 在 x 2 处取得极小值 则函数 y xf x 的图 像可能是 7 二面角 l 为 60 A B 是棱l上的点 AC BD 分别在半平面 内 AC l BD l 且 AB AC a BD 2a 则 CD 的长为 A 2aB aC aD a 8 算数书 竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土 这是我国现存最早的有系统的数学典籍 其 中记载有求 囷盖 的术 置如其周 令相乘也 又以高乘之 三十六成一 该术相当于给出了由圆锥的底面周 长L与高h 计算其体积V的近似公式 2 1 36 vL h 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3 那么近 似公式 2 2 75 vL h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为 A 22 7 B 25 8 C 157 50 D 355 113 9 若圆 22 44100 xyxy 上至少有三个不同点到直线l 0axby 的距离为2 2 则直线l的斜率的 取值范围是 A 23 1 B 23 23 C 3 3 3 D 0 10 程序框图如下 如果上述程序运行的结果S的值比 9999 小 若使输出的S最大 那么判断框中应填入 A 10k B 10k C 9k D 9k 11 一个三位自然数abc的百位 十位 个位上的数字依次为 a b c 当且仅当a b且c b时称为 凸数 若 2 5 8 9 a b c 且 a b c互不相同 任取一个三位数abc 则它为 凸数 的概率是 A 2 3 B 2 5 C 1 6 D 1 3 第 6 题图 第 7 题图 12 设 12 F F为椭圆 2 1 22 2 1 0 xy Cab ab 与双曲线 2 C的公共的左 右焦点 它们在第一象限内交于点M 12 MFF 是以线段 1 MF为底边的等腰三角形 若椭圆 1 C的离心率 3 4 8 9 e 则双曲线 2 C的离心率的取值范围 是 A 3 4 2 B 3 2 C 1 4D 5 5 4 3 二 填空题 二 填空题 2020 分 每小题分 每小题 5 5 分 分 13 采用系统抽样方法从 1000 人中抽取 50 人做问卷调查 为此将他们随机编号为 1 2 3 1000 分组在 第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9 抽到得 50 人中 编号落入区间 1 271 的人做问卷 A 编号落入区间 272 893 的人做问卷 B 其余的人做问卷 C 则抽到的人中 做问卷 B 的人数为 14 设点 P 是曲线 y x 3 3x b b 为常数 上任意一点 P 点处的切线倾斜角为 则 的取值范围为 15 由不等式组 02 06 x y 确定的平面区域记为 1 由曲线 y x 2 2 与直线 y 3x x 0 x 2 所围成的平面区域记为 2 在 1 中随机取一点 则该点恰好在 2 内的概率为 16 关于 x 的方程 kx 2 2 2x 有两个不同的实数根 则 k 的取值范围 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 共小题 共 7 70 0 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 已知向量 2 2cos 3mx 1 sin2nx 函数 f xm n 求函数 f x的最小正周期 在 ABC中 cba 分别是角 A B C的对边 且 3 1f Cc 32 ab 且ba 求ba 的 值 18 12 分 已知数列 n a的前n项和是 n S 且 1 1 3 nn Sa Nn 求数列 n a的通项公式 设 41 log 1 nn bS Nn 1 22 31 111 n n n T bbbbbb 求使 1007 2016 n T 成立的最小的正整数n的值 19 12 分 如图 矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直 BE FC BCFCEF 0 90 3 2ADEF 1 求证 AE 平面DCF 2 当AB的长为何值时 二面角AEFC 的大小为 0 60 20 12 分 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均 为半球形 按照设计要求容器的体积为 80 3 立方米 且2lr 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知 圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元 半球形部分每平方米建造费用为 3 c c 千元 设该容器的建造费用为y 千元 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 求该容器的建造费用最小时的r 21 12 分 已知函数 f x x a 1 lnx a x a R g x 1 2 x 2 ex xex 1 当 x 1 e 时 求 f x 的最小值 2 当 a 1 时 若存在 x1 e e 2 使得对任意的 x 2 2 0 f x1 g x2 恒成立 求 a 的取 值范围 22 12 分 已知椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 且 F1 F2与短轴的一个顶点 Q 构成 一个等腰直角三角形 点 P 在椭圆 C 上 求椭圆 C 的标准方程 过 F2作互相垂直的两直线 AB CD 分别交椭圆于点 A B C D 且 M N 分别是弦 AB CD 的中点 求 MNF2面积的最大值 2016 2017 学年上学期高二期末数学试卷 理科 参考答案 1 5 ADACB6 10 CABBC11 12 DA 13 31 人14 0 2 2 3 15 1 12 16 32k 或23k 17 1 22 2cos 3 1 sin2 2cos3sin2f xmnxxxx cos213sin22sin 2 1 6 xxx 故最小正周期 2 2 T 2 31 6 2sin 2 CCf 1 6 2sin C C是三角形内角 26 2 C即 6 C 2 3 2 cos 222 ab cab C即 7 22 ba 将32 ab代入可得 7 12 2 2 a a 解之得 3 2 a或 4 23或 a 32或 b 3 2 baba 18 1 当1n 时 11 as 由 111 13 1 34 Saa 1 分 当2n 时 11 11 1 1 1 3 0 13 1 3 nn nnnn nn Sa SSaa Sa 1 1 4 nn aa n a是以 3 4 为首项 1 4 为公比的等比数列 4 分 故 1 3 11 3 4 44 nn n a Nn 6 分 2 由 1 知 1 11 11 1 34 n nn Sa 1 414 1 log 1 log 1 4 n nn bSn 8 分 1 1111 1 2 12 nn b bnnnn n T 1 22 31 11111111111 23341222 nn bbb bb bnnn 111007 2014 222016 n n 故使 1007 2016 n T 成立的最小的正整数n的值2014n 12 分 19 解 1 以C为原点 分别以 CB CF CD 所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系 设 ABa BEb CFc 则 0 0 0 3 0 3 0 0 3 0 0 0CAa BEbFc DCBC CFBC DCCFCBC QI平面DCF BEQ CFBEBC 又 ABBC ABBEB I BC 平面ABE 平面ABE 平面DCF 故AE 平面DCF 6 分 2 因为 3 0 3 0EFc bCEb uuu ruur 且 0 2EF CEEF uuu r uuruuu r 所以 2 3 0 3 2 b c b c b 解得 3 4bc 所以 3 3 0 0 4 0EF 设 1 ny z r 与平面AEF垂直 则 0n AE r uuu r 0n EF r uuu r 解得 3 3 1 3 n a r 9 分 又因为AB 平面BEFC 0 0 BAa uur 所以 2 3 31 cos 2 4 27 BA na aaBA n uur r uur r 得到 9 2 a 当 9 2 AB时 二面角AEFC 的大小为 0 60 12 分 20 解 I 设容器的容积为 V 由题意知 23 480 33 Vr lrV 又 故 3 222 4 8044 20 3 333 Vr lrr rrr 由于2lr 因此02 r 所以建造费用 22 2 4 20 2342 34 3 yrlr crrr c r 因此 2 160 4 2 02 ycrr r II 由 I 得 3 22 1608 2 20 8 2 02 2 c ycrrr rrc 由于3 20 cc 所以 当 3 3 2020 0 22 rr cc 时 令3 20 2 m c 则0m 所以 22 2 8 2 c yrm rrmm r 1 当 9 02 2 mc 即时 当r m时 y 0 当r 0 m 时 y 0 所以rm 是函数 y 的极小值点 也是最小值点 2 当2m 即 9 3 2 c 时 当 0 2 0 ry 时函数单调递减 所以 r 2 是函数 y 的最小值点 综上所述 当 9 3 2 c 时 建造费用最小时2 r 当 9 2 c 时 建造费用最小时 3 20 2 r c 21 22 解 椭圆 1 a b 0 经过点 P 且 F1 F2与短轴的一个顶点 Q 构成一个等腰直角三角形 解得 a 2 2 b2 1 椭圆方程为 设直线 AB 的方程为 x my 1 m 0 则直线 CD 的方程为 x y 1 联立 消去 x 得 m 2 2 y2 2my 1 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 y1y2 x1 x2 my1 1 my2 1 m y1 y2 2 由中点坐标公式得 M 将 M 的坐标中的 m 用 代换 得 CD 的中点 N 资 源 库 kMN 直线 MN 的方程为 y x 即为 y 令 可得 x 即有 y 0 则直线 MN 过定点 H 且为 H 0 F2MN 面积为 S F2H yM yN 1 令 m t t 2 由于 2t 在 2 递增 即有 S 在 2 递减 当 t 2 即 m 1 时 S 取得最大值 为 则 MNF2面积的最大值为