.,第六章 方差分析,应用统计学,重庆大学生物工程学院,.,基本概念,方差分析：方差分析是对两个或两个以上样本平均数差异显著性检验的方法。 例：为研究某种生物材料的生物学性能，将材料分成三组，分别与成骨细胞共培养1,7,11天后测试细胞活性。为避免误差，每组测试5个样品，试判断材料的生物学性能。,.,基本概念,.,两个样本数据平均数比较,1、当总体方差 和 已知，或总体方差 和 未知，但两样本均为大样本,2、当总体方差 和 未知，且两样本均为小样本,.,例：生产某种纺织品，要求棉花纤维长度平均在30mm以上。现有一棉花品种，以n400进行抽样，测得纤维平均长度为30.2mm,标准差为2.5mm，问该棉花品种的纤维长度是否合格？,分析：1）已知 , u检验 2）由于只能大于30mm才能合格，故单尾检验,解：（1）假设 ，即该棉花品种纤维长度不能达到纺织品生产要求含量。对,（2）选取显著水平,（3）检验计算,（4）推断,u0.05 ,显著水平上接受H0，拒绝HA。 即认为该棉花品种纤维长度不符合纺织品种生产要求,.,例 为了探讨不同窝的动物的出生重是否存在差异，随机选取4窝动物，每窝中均有4只幼仔，结果如下：,表 4窝动物的出生重（克）,通过对以上数据的分析，判断不同窝别动物出生重是否存在差异。,.,方差分析的意义,k个样本均数的比较： 如果仍用t检验或u检验，需比较次数为：,例如4个样本均数需比较次数为6次。,假设每次比较所确定的检验水准为0.05， 则每次检验拒绝H0不犯第一类错误的概率为1-0.05=0.95； 那么6次检验都不犯第一类错误的概率为(1-0.05)6=0.7351， 而犯第一类错误的概率为0.2649,.,方差分析的意义,k个样本均数的比较： 如果仍用t检验或u检验，有以下问题：,1、检验过程繁琐 2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检 验的灵敏性低 3、推断的可靠性降低，犯第1类错误的概率增加,.,方差分析:是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。u 检验和t 检验可以判断两组数据平均数的差异的显著性， 而方差分析则可以同时判断多组数据平均数之间的差异的显著性。当然，在多组数据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所有对之间做 t 检验。但这样做会提高犯型错误的概率，因而是不可取的。,.,方差分析由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称 F 检验 （F -test）。用于推断多个总体均数有无差异,.,方差分析的定义,方差分析是对两个或多个样本平均数差异显著性检验的方法。它是将测量数据的总变异按照变异来源分解为处理效应和试验误差，并做出其数量估计。,它将所有处理的观测值作为一个整体，一次比较就对多有各组间样本平均数是否有差异做出判断。如果差异不显著，则认为它们都是相同的；如果差异显著，再进一步比较是哪组数据与其它数据不同。,.,方差分析的意义,方差分析基本思想： 1、把k个总体当作一个整体看待 2、把观察值的总变异的平方和及自由度分 解为不同来源的平方和及自由度 3、计算不同方差估计值的比值 4、检验各样本所属的平均数是否相等 实际上是观察值变异原因的数量分析,.,方差分析的应用条件和用途,方差分析应用条件： 1、各样本须是相互独立的随机样本 2、各样本来自正态分布总体 3、各总体方差相等，即方差齐,方差分析基本用途： 1、多个样本平均数的比较 2、多个因素间的交互作用 3、回归方程的假设检验 4、方差的同质性检验,.,第一节 方差分析的基本原理,.,试验指标(Experimental index)：试验测定的项目或者性状。 日增重、产仔数、瘦肉率 试验因素(Experimental factor)：影响试验指标的因素，也称：处理因素，简称因素或因子。 1、可控因素（固定因素）：人为可控 2、非控因素（随机因素）：不能人为控制 试验因素的表示： 大写字母A, B, C, 等来表示,一、相关术语,.,因素水平(Level of factor)：试验因素所处的特定状态或者数量等级。简称水平 水平的表示方法： 用代表该因素的字母添加下标表示，如A1，A2，B1，B2 试验处理(Treatment)：实施在试验单位上的具体项目,简称处理。 单因素：试验因素的一个水平 多因素：试验因素的一个水平组合,一、相关术语,.,试验单位(Experimental unit)：试验载体，即根据研究目的而确定的观测总体 重复(Repetition)：一个处理实施在两个或者两个以上的试验单位上，称为处理有重复。 试验单位数称为处理的重复数,一、相关术语,.,方差分析是关于k(k3)个样本平均数的假设测验方法，是将总变异按照来源分为处理效应和试验误差，并做出其数量估计。 发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一种统计分析方法。,二、方差分析的基本原理,.,总变异分解为组间变异和组内变异。 组内变异是个体差异所致，是抽样误差。 组间变异可能由两种原因所致， 一是抽样误差； 二是处理不同。 在抽样研究中抽样误差是不可避免的，故导致组间变异的第一种原因肯定存在；第二种原因是否存在，需通过假设检验作出推断,二、方差分析的基本原理,.,三、数学模型,每组具有n个观测值的k组样本数据资料,.,例 2.1 调查了5个不同小麦品系的株高，结果列于表21。 在这个例子中，只出现“品系”这样一个因素(factor)，故称单因素。共有5 个不同的品系，我们称品系这一因素共有5个水平(level)。5个品系可以认为是5个总体，表 21的数据是从5个总体中抽出的5个样本，通过比较这5个样本，判断这5个总体是否存在差异。,表 21 5个小麦品系株高调查结果,.,例 2.2 为了探讨不同窝的动物的出生重是否存在差异，随机选取4窝动物，每窝中均有4只幼仔，结果如下：,表22 4窝动物的出生重（克）,通过对以上数据的分析，判断不同窝别动物出生重是否存在差异。,.,以上两个例子的共同点是：每个实验都只有一个因素，该因素有a个水平或称为有a个处理(treatment)，这样的实验称为单因素实验。 从单因素实验的每一处理所得到的结果都是一随机变量X i。对于a个处理，各重复n次（或者说做n次观察）的单因素方差分析的一般化表示方法见表23 。,表 23 单因素方差分析的典型数据,.,每一个观察值可以通过如下常用的所谓线性统计模型(linear statistical model)描述：,其中：xij 是在第 i 水平（处理）下的第 j 次观察值。是对所有观察值的一个参量，称为总平均数(overall mean)。i是仅限于对第 i 次处理的一个参量，称为第i次处理效应(treatment effect)。方差分析的目的，就是要检验处理效应的大小或有无。eij是随机误差成份。,.,上述模型中，包括两类不同的处理效应。第一类处理效应称为固定效应(fixed effect)，它是由固定因素(fixed factor)所引起的效应。若因素的a个水平是经过特意选择的，则该因素称为固定因素。例如，几个不同的实验温度，几个不同的化学药物或一种药物的几种不同浓度，几个作物品种以及几个不同的治疗方案和治疗效果等。,.,在这些情况中，因素的水平是特意选择的，所检验的是关于ai 的假设，得到的结论只适合与方差分析中所考虑的那几个水平，并不能将其结论扩展到未加考虑的其它类似水平上。所以上述的那些因素：温度、药物、品种等，称为固定因素。处理这样的因素所用的模型称为固定效应模型（fixed effect model）。例2.1中的5个小麦品系是特意选择的，目的是从这5 个品系中，选出最优者，因而“品系”这个因素属于固定因素，所用的模型是固定效应模型。,.,第二类处理效应称为随机效应（ran-dom effect），它是由随机因素（random factor）所引起的效应。若因素的a 个水平，是从该因素全部水平的总体中随机抽出的样本，则该因素称为随机因素。从随机因素的a 个水平所得到的结论，可以推广到这个因素的所有水平上。处理随机因素所用的模型称为随机效应模型（random effect mo-del）。例2.2 的动物窝别，是从动物所有可能的窝别中随机选出来的，实验的目的是考查在窝别之间，出生重是否存在差异，因而“窝别”是随机因素。,.,有时固定因素和随机因素很难区分，除上述所讲的原则外，还可以从另一角度鉴别。固定因素是指因素水平，可以严格地人为控制。在水平固定之后，它的效应值也是固定的。例如，研究三种温度对胰蛋白酶水解产物的影响。因为温度水平是可以严格控制的，即每一温度水平，在各个重复之间都可以准确地控制在一个固定值上，所以在重复该实验时，水解产物的产量也是固定的。简单地说，在水平（不同温度）固定以后，其效应值（产量）也是固定的。因此，温度是固定因素。,.,随机因素的水平是不能严格地人为控制的，在水平确定之后，它的效应值并不固定。例如，在研究不同农家肥施用量对作物产量的影响试验中，农家肥是因素，不同施用量是该因素的不同水平，作物的产量是它的效应值。由于农家肥的有效成份很复杂，不能像控制温度那样，将农家肥的有效成份严格地控制在某一个固定值上。在重复试验时即使施以相同数量的肥料，也得不到一个固定的效应值。即在因素的水平（施肥量）固定之后，它的效应值（产量）并不固定，因而农家肥是一随机因素。,.,三、数学模型,.,三、数学模型,.,三、数学模型,.,四、平方和与自由度的分解,全部观测值的总变异可以用总体方差来度量。 方差即均方是离均差平方和除以自由度。 把一个实验资料的总变异按变异来源分解为相应的变异，首先要将总平方和与总自由度分解为各个变异来源的相应部分。 则考察总方差可以考察处理间方差和处理内的方差,.,四、平方和与自由度的分解,平方和的分解：,总平方和=处理间平方和处理内平方和,.,四、平方和与自由度的分解,自由度的分解：,总自由度=处理间自由度处理内自由度,.,四、平方和与自由度的分解,计算方差：,.,五、统计假设的显著性检验 F检验,F检验的目的：推断处理间的差异是否存在,.,五、统计假设的显著性检验 F检验,注意：方差分析中的F检验总是单尾检验,而且为右尾检验,.,F越大，越说明组间方差是主要方差来源， 因子影响越显著； F越小，越说明随机方差是主要的方差来源， 因子的影响越不显著,五、统计假设的显著性检验 F检验,.,eg. 某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼20尾，随机分成4组，投喂不同饲料，经1个月以后，各组鱼的增重（g） 资料如下表，试进行方差分析,分析：1个因素，4个水平，5个重复的方差分析,.,解：,.,.,不同饲料饲喂鱼增重的方差分析表,.,二、 固定效应模型 在固定效应模型中，ai 是处理平均数与总平均数的离差，且是个常量，因而,要检验a个处理效应的相等性，就要ai 判断各是否等于0。若各ai 都等于0，则各处理效应之间无差异。因此，零假设为：,备择假设为： HA：ai0（至少有1个i）。若接受H0，则不存在处理效应，每个观察值都是由平均数加上随机误差所构成。若拒绝H0，则存在处理效应，每个观察值是由总平均数、处理效应和误差三部分构成。,.,例 2.1 调查了5个不同小麦品系的株高，结果列于表21。 在这个例子中，只出现“品系”这样一个因素(factor)，故称单因素。共有5 个不同的品系，我们称品系这一因素共有5个水平(level)。5个品系可以认为是5个总体，表 24的数据是从5个总体中抽出的5个样本，通过比较这5个样本，判断这5个总体是否存在差异。,表 21