圆盘内的热传导问题蔡晓君 物理学3班 200823010971、引言圆盘内的热传导问题是学习中常见的问题，本文通过建立模型并详细的解答问题，得出了此模型的通解，并通过画图对圆盘内温度分度规律进行了探究。对我们生活及生产中热传导现象有实际的理解帮助。2、模型介绍及问题的提出 圆盘内的热传导问题模型如下，设有半径为1的薄均匀圆盘，边界上的温度为0，初始时刻圆盘内温度分布为1-，其中r是圆盘内任一点的集半径，求圆盘内温度分布规律。圆域内求解问题，才用极坐标较方便，考虑到定解问题与无关，故温度U只是r，t的函数，由题意得，归结为下列定解问题 r0 r r运用分离变量法 令U（r,t）=F(r)T(t)F(r) = T(t) 即令=则可得 对式 当=0时，=k为常数（显然不符合题意）故T（t）=c又0 可使=T（t）=c则式可化为+=0这是特殊函数贝塞尔方程则通解F（r）= (具体过程见后面解释1)又U（r,t）是有界的，故=0，即F（r）=又=0，故=0，即是的零点= 对应的本征函数为从而有形式解为U（r,t）=又=1-=+又由贝塞尔函数的递推公式得 （具体过程课看后面解释2）=再由递推公式 得（具体过程看后面解释）=从而可有 因此，所求定解问题之解为U(r,t)= （其中是的正零点）2.1对方程解的具体解释解释1：贝塞尔方程求解贝塞尔方程有级数解（）代入原方程得合并同类项得，当k=0时， （） 当k=1时， 当k 当r=n时， 而 其中为任意常数，而具有性质 （n为整数）贝塞尔函数的特解为定义为第一类贝塞尔函数当,同理再定义与线性无关一般贝塞尔函数的额通解可表示成解释2：证明证明：3、结论本文通过常规方法分离变量法解出了圆盘内的热传导问题的解，知道了所构造的模型通解为所求定解问题之解为U(r,t)= （其中是的正零点）且作出了圆盘温度分度的图形，更形象了解圆盘内温度分布规律，如下图所示4、参考文献数学物理方程与特殊函数 李元杰 编 高等教育出版社数学物理方法 刘连涛 王正清 编 高等教育出版社数学物理方程 陈才生 编 东南大学出版社5、感想通过这次学习对编程画图有了更进一步的了解，巩固掌握。在解题过程要时刻以老师的思想为指导，解题过程以分离变量法为指导方法，但是思想比解题更重要，在理解的基础上运用这些思想及方法。也使我们更加深刻了解到数学物理方程对我们掌握知识形象理解具体问题的重要性。