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用心 爱心 专心 高一数学向量、向量的加法与减法高一数学向量、向量的加法与减法人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容: 向量、向量的加法与减法 二. 重点、难点: 1. 向量的概念。 2. 向量的加法与减法的定义。 3. 会用加法与减法的平行四边形法则和三角形法则作出向量的和与差。 【典型例题典型例题】 例 1 以下命题中真命题的个数是( ) (1)0 aa (2)00a (3)aa0 (4)向量与向量平行,则、的方向相同或相反。abab A. 0B. 1C. 2D. 3 解:解: (1)假命题。因为两向量之差仍为向量,所以应。0 aa (2)假命题。因为实数与向量的积是向量,所以应有。00a (3)真命题。aaa)(00 (4)假命题。若与中有一个为,则它的方向不确定。ab0 综上,应选择 B。 例 2 下列命题中假命题的个数是( ) (1)向量与是共线向量,则 A、B、C、D 四点共线。ABCD (2)四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是。DCAB (3)四边形 ABCD 中,。DABCCDAB (4)若两非零向量, 与的方向相同或相反,则的方向必与或的方向相abba ab 同。 A. 1B. 2C. 3D. 4 解:解: (1)是假命题。共线向量是指平行向量,故与平行不一定 A、B、C、D 四ABCD 点共线。 (2)真命题。 (3)假命题,由 ABCD 为四边形,则有,故0DACDBCAB 。)(DABCCDAB (4)假命题。当时,的方向不确定。0baba 综上,应选择 C。 例 3 已知正方形 ABCD 的边长等于 1,求作向量cACbBCaAB, 和向量以及。cbacbacba 用心 爱心 专心 D A B C E b a 图 1 解:解:如图 1,由于ACBCABba 又由,延长 AC 至点 E,使得 CE=AC,则ACc AEcba 又如图 2,DBADABBCABba D A a B C b c c a - b F 图 2 过点 B 作,即,故ACBF cBF DFBFDBcba )( 如图 3,作,即。ACDG cDG D A a B C b c a - b G c 图 3 而,则baADABDBGBDGDBcba )( 例 4 设 P 是的重心,试证明:。ABC0PCPBPA A G B M P N C 证明:证明:如图设 M、N、P 分别是边 BC、AC、AB 的中点,由,ABCBMABAM CMACAM 用心 爱心 专心 则有)(2CMBMACABAM 又由 M 是 BC 中点,故,即0CMBM)( 2 1 ACABAM 同理可得,)( 2 1 BABCBN)( 2 1 CBCACG 故0)()()( 2 1 CBCABABCACABCGBNAM 又由点 P 是的重心ABC 则,AMAP 3 2 CGCPBNBP 3 2 , 3 2 故)( 3 2 CGBNAMCPBPAP 又由,则0CGBNAM0CPBPAP 故0PCPBPA 例 5 试比较下列向量模的大小 (1)与;|ba |ba (2)与。|ba |ba 解:解: (1)分情况讨论 当、中至少有一个为时,=;ab0|ba |ba 当、均为非零向量时,若与同向,则=abab|ba |ba 若与异向,则ab|ba |ba 若与不共线,则ab|ba |ba (2) 当与中至少有一个为时,则ab0|baba 当与均为非零向量时,根据向量加减法的平行四边形法则可知,与ab|ba 是以、为边的平行四边形的两条对角线的长,如图分三种情况讨论,设|ba | a|b 与的夹角为。ab D A B C b a - b a + b a D AB C a - b a + b a b D C AB a + b a - b 图 1 图 2 图 3 若,如图 1,则有900|baba 若,如图 2,则有 90|baba 若,如图 3,则有18090|baba 例 6 设点 G 为四边形 ABCD 对角线的中点连线 MN 的中点,点 P 为该平面内任意一点, 证明。PDPCPBPAPG4 用心 爱心 专心 D C A P B M GN 证明:证明:如图所示,设四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 中点分别为 M、N 由 PM 为的中线,故APC )( 2 1 PCPAPM 同理可知)( 2 1 PDPBPN 又由 G 为 MN 中点,则有)( 2 1 PNPMPG )( 4 1 PDPCPBPA 即PDPCPBPAPG4 特别地,当 P 与 G 重合时可以得到 0GDGCGBGA 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题: 1. 下列命题中正确的个数为( ) (1)若向量与共线,与共线,则向量与共线abbcac (2)共线的单位向量都相等 (3)向量与反向,则向量与的方向相同ab|ba ba a (4)向量与不共线,则、均为非零向量abab A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 2. 平行四边形 ABCD 中,等于( )ADCDBC A. B. C. D. BDABACBA 3. 非零向量、不共线,且,则向量与的关系是( )ab|ba abab A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 相等 4. 已知的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P,若,则点ABCABPCPBPA P 与的位置关系是( )ABC A. P 在内部ABC B. P 在外部ABC C. P 在 AB 边上或它的延长线上 D. P 在 AC 边上且为 AC 的一个三等分点 二. 填空题 用心 爱心 专心 5. 已知 AD、BE 分别是的边 BC、AC 上的中线,且,则ABCbBEaAD , 。BC 6. 点 P 为四边形 ABCD 内部一点,点 E、F 分cPCbPBaPA,dPD 别为 AB、CD 的中点,则 。EF 三. 证明题: 7. 任意四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为 E、F,求证:。)( 2 1 DCABEF 8. 用向量方法证明:四边形为平行四边形的充要条件是它的两条对角线互相平分。 用心 爱心 专心 【试题答案试题答案】 一. 1. B(析:(1)与(4)正确)2. D3. B4. D 二. 5. 6. ba 3 4 3 2 )( 2 1 badc 三. 7. 证法一:如图,则0AEBAFBEFEAABBFEF 同理,由,则0DECDFCEF EDDCCFEF 故EDEADCABCFBFEF2 由 E、F 分别为 AD、BC 中点,则 ,0CFBF0 EDEA 故)( 2 1 DCABEF D C F B E A 证法二:如图,在平面内取点 O,作、,则有OEOF )( 2 1 ),( 2 1 OCOBOFODOAOE 又由OEOFEF )( 2 1 )( 2 1 DCABODOAOCOBEF D C F B E A O 证法三:如图,作,则四边形 ABGC 为平行四边形,故对角线 AG 过 BCABCG 用心 爱心 专心 中点 F,则 EF 为的中位线,故,又由,ADGDGEF 2 1 ABDCCGDCDG 所以)( 2 1 DCABEF D C F B E A G 8. 证明:先证充分性,若四边形对角线互相平分,如图OBDOOCAO, 则有,OBAOABAOOBOCDODC 故,则四边形 ABCD 为平行四边形DCAB 再证必要性,设 AC 中点为 O1,BD 中点 O2,在平行四边形 ABCD 中 ABBCBDBCABAC, 故,)( 2 1 2 1 1 BCABACAO)( 2 1 2 1 2 ABBCBDBO 则,)( 2 1 1 BCABAO)( 2 1 2 BCABBO O C D A B 由于,因此有ABBOAO 21 BOABAO 21 又由加法法则,故BOABAO 11 BOBO 21 故 O1与 O2重合
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