第十三章 其它模型,13.1 废水的生物处理 13.2 红绿灯下的交通流 13.3 鲑鱼数量的周期变化 13.4 价格指数 13.5 设备检查方案,13.1 废水的生物处理,废水处理 (去掉有害的有机物) 通常有生物化学与物理化学两种方法.,背景与问题,生物处理 利用微生物(主要是细菌)的生命活动过程, 把废水中的有机物转化为简单的无机物.,已知废水中有害物质浓度为10-310-2g/m3, 要将浓度降至510-4g/m3以下, 需建立废水与微生物混合的处理池.,设废水将以10m3/h的流量进入处理池, 确定处理池的容积, 使排出废水中有害物质的浓度达到规定的标准.,模型假设,生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律及相关参数,2. 微生物依于有害物质分解、转化的能量而增殖的速率与有害物质浓度成正比，比例系数r2=1.26m3/g . h,4. 处理池内有害物质和微生物任何时候都均匀混合,排出废水中有害物质和微生物的浓度与池内相同.,3. 微生物的自然死亡率为常数 d=10-5/h,1. 有害物质被微生物分解、转化而消失的速率与微生物浓度成正比，比例系数r1=0.1m3/g . h,c(t) 时刻 t 有害物质的浓度,b(t) 时刻 t 微生物的浓度,模型假设,生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律及相关参数,6. 进入处理池的废水中有害物质浓度为c0, c01c0c02, c01= 10-3g/m3, c02= 10-2g/m3, c0可以改变, 最坏情况是c0由c01突然增加到c02,7. 环境保护法规定的废水中有害物质浓度为c*=510-4 g/m3, 它是长期稳定排放的标准, 如果是短期排放并超标不大, 可以用处罚等方法解决.,5. 忽略蒸发等因素, 废水进入处理池和排出处理池的流量均为常数Q=10m3/h; 废水满池, 池的容积为V,单池模型,建立一个处理池,(t, t+t) 内池内有害物质的平衡,改变量 = 进入量 排出量 分解转化量,c(t) 有害物质浓度,b(t) 微生物的浓度,V池的容积,(t, t+t) 内池内微生物的平衡,Q流量,非线性方程组无解析解,单池模型的稳态状况,平衡点,用微分方程稳定性理论可以验证:,微生物的增殖率大于死亡和排除率,当 时P1稳定, P2不稳定,单池模型的稳态状况,c01c0c02,Q=10m3/h,r2=1.26m3/g . h,d=10-5/h,c0=c01= 10-3g/m3,V8103 m3,V1.6104 m3,c0=c*= 510-4 g/m3,平衡点P1稳定条件,为使稳定状况下有害物质浓度达到规定标准c*, 处理池的容积至少需要达到1.6104 m3.,一个长宽各100 m, 深1.6m的池子!,考察最坏情况,取稳定平衡点P1为初值, 即,单池模型的动态过程,当c0=c01时池内浓度已处于稳态, c0突然增加到c02,设V=1.6104 m3 和 3104 m3, 用数值方法解微分方程组:,有害物质浓度将有约1300小时超过2c*, 最高达到5c*,单池模型的动态过程,有害物质浓度将有约900小时超过2c*, 最高达到3c*,要达到规定的标准需要太大的池子!,长宽各100 m, 深3m的池子,两个串接的池子,双池模型,与单池模型相同(只是加上下标1),增加从池的流入量,池方程的平衡点,双池模型的稳态状况,当 时P1稳定,c0=c01, V18103 m3,池方程的平衡点,要求稳态下,双池模型的稳态状况,在c0=c01, V18103 m3下取值计算c1, b1, V2,应选择较大的V1和较小的V2相配合的方案,双池模型的动态过程,仍考察c0由c01突然增加到c02的最坏情况,有害物质浓度约1200小时超过c*, 很短时间超过2c*,要使有害物质浓度完全不超过c*, 需要V2太大,双池模型与单池模型的比较,有害物质浓度约1200小时超过c*, 很短时间超过2c*,有害物质浓度约900小时超过2c*, 最高达到3c*,双池总容积比单池减少近1/3, 处理效果好得多,虽然有超标, 但这是最坏情况, 可按处罚等方法解决,V1+V2=2.1104m3,13.2 红绿灯下的交通流,背景与对象,公路上行驶的一辆接一辆的汽车队伍.,将车队类比作连续的流体, 称为交通流(车流).,描述、分析每一时刻通过公路上每一点的交通流的流量、速度、密度之间的关系.,研究出现红绿灯改变（可以看作交通事故的发生和排除）时交通流的变化过程.,交通流的基本函数,对象 无穷长公路上单向行驶的一条车流，不许超车, 公路上没有岔路(汽车不会从其他道路进入或驶出).,流量q(x,t) 时刻 t 单位时间内通过点 x 的车辆数.,密度(x,t) 时刻 t 点 x 处单位长度内的车辆数.,速度u(x,t) 时刻 t 通过点 x 的车流速度.,基本关系：q(x,t)= u(x,t)(x,t),单位时间内通过的车辆数等于车流速度(单位时间行驶的距离)乘以单位长度内的车辆数.,交通流的基本函数,基本关系：q(x,t)= u(x,t)(x,t),流量q(x,t),密度(x,t),速度u(x,t),速度u随着密度的增加而减少, 设u是的线性函数,平衡状态(所有车辆速度相同, 公路各处密度相同)下u, 和 q 的关系.,=*=m/2 , q=qm (最大值),=0, u= um(最大值); =m(最大值), u= 0.,连续交通流方程,流量q(x,t),密度(x,t),速度u(x,t),关于q(x,t), (x,t), u(x,t) 的连续、可微、解析性假设,积分形式,微分形式,连续交通流方程,流量q(x,t),密度(x,t),速度u(x,t),已知q=q(),已知初始密度 f(x),一阶拟线性偏微分方程,用特征方程和首次积分法求解,x(t)是一族直线 特征线,特征线的斜率随x0变化,沿每条特征线x(t), (x,t)是常数f(x0),连续交通流方程,讨论q(), f(x)给定后解(x,t)的性质,1,2,* = m/2 , (* )=0, k,t(x)的斜率k=1/ (f(x0),特征线, 10, k0, 2* , (2 )0, k*, k0, = *,k,前面车流密度小(速度大), 后面密度大(速度小), 行驶正常.,前面车流密度大(速度小), 后面密度小(速度大), 造成堵塞, (x,t), q(x,t)出现间断.,在P(x,t)点, (x,t)=f(x1) (x,t)=f(x1),?,间断交通流方程,设一连串间断点(x,t)形成孤立、连续的间断线x=xs(t),交通流方程的积分形式,推导间断线xs(t)的方程,对任意t , x=xs(t)孤立, 取a xs(t) 0处的车辆继续行驶, x0处的车辆出现堵塞.,t= 时交通灯变绿, 堵塞的车辆快速行驶.,用车流密度(x,t)描述红绿灯转换下交通流的变化.,绿灯后堵塞的车辆多长时间才能追上远离的车队?,需要多长时间堵塞状态才会消失, 交通恢复正常?,对象,红绿灯模型,讨论密度(x,t) 的变化,连续点,间断线,1. t=0, (x,0)=f(x)=0(常数),设0 *= m/2,初始密度小于流量达到最大的密度, 称为稀疏流.,依时间为序分9步讨论,红绿灯模型,2. 0t, 红灯亮,x0处车辆堵塞, 导致最大密度=m,=m与=0形成左间断线 x=xsl(t) 堵塞车辆尾部的移动.,x=xsl(t)向左移动速度usl=um 0 /m,0 *= m/2,红绿灯模型,2. 0usl=um0 /m,0, 绿灯亮,x1(t)堵塞车队最前车辆的位置,x2(t)堵塞车队最后车辆的位置,初始密度(设t= t-=0),确定x1(t), x2(t),红绿灯模型,4. t, 绿灯亮,初始密度,0x0xsr,f(x0)=0, (f(x0)=um,特征线x=um t+x0, (x, t)= f(x0)=0,x00+, x1=um t=um (t-),xslx00,f(x0)=m, (f(x0)=-um ,x2=-um t=-um (t-),x2xx1,红绿灯模型,5. t=td,堵塞消失,xsl(t)向左移动速度um 0 /m,xsr(t)向右移动速度um (m -0 )/m,x2(t)向左移动速度um,00 (t充分大),xsl由向左变为向右移动,8. t=t* , x=0处交通恢复,红绿灯模型,当xsl移动至x=0时, x=0处交通恢复,越小, 0/m越小, 则t*越小, x=0处交通恢复越快.,设=5min, 0/m=3/8, 则t*=80min,5分钟的堵塞, 过75分钟后x=0处交通才能恢复.,9. tt* , xsl(t), xsr(t)继续向右移动,红绿灯模型,xsl, xsr处的跳跃值越来越小.,理论上, t全线交通才能恢复到初始状态=0,以上假定初始密度0 *= m/2 拥挤流, 得到的结果与稀疏流不同, 但分析方法一样(习题3).,红绿灯下的交通流,将离散车流类比作连续流体 类比是建模的基本方法之一.,引入流量、密度、速度函数, 并按照守恒关系建立交通流模型(积分形式和微分形式).,用特征线法解连续交通流模型.,利用跳跃值研究间断线发展过程, 研究红绿灯模型.,13.3 鲑鱼数量的周期变化,背景与问题,海洋中鱼的数量按繁殖期呈周期变化.,鲑鱼生长、繁殖过程：,成年鱼产卵,产卵前鲑鱼的数量按一定规律呈周期变化,既在离散的时间点上描述成年鲑鱼数量的周期变化，又在连续的繁殖期内描述从卵、幼鱼到成年鱼的演变过程.,将描述连续变化的微分方程嵌入描述离散变化的差分方程.,模型假设,xn第n繁殖期(周期)初成年鲑鱼的数量( n =0,1,2, ),y(t)每个周期内t时刻幼鱼的数量,1. y(ta) 与xn 成正比，比例系数为一条鱼的产卵量.,3. 单位时间内y(t) 减少的比例与xn 成正比，比例系数反映鲑鱼吞食幼鱼的能力.,2. xn+1 与y(tb)成正比，比例系数表示繁殖期末幼鱼成长为成年鱼的比例.,模型建立,y(ta) 与xn 成正比,单位时间内y(t) 减少的比例与xn 成正比,xn+1 与y(tb)成正比,无解析解, 寻求数值解,模型建立, 一条鱼的产卵量, 设=105, 繁殖期末幼鱼成长为成年鱼的比例, 设=0.5, 1.1, 1.5 (10-4),a= = 5, 11, 15,设x0=1(数量单位), 且吞食90%的幼鱼, 即y(tb)/ y(ta)=0.1,b=2.3,a的大小反映鲑鱼从一个周期到下一周期的增长,模型建立,a=5, 11, 15,b=2.3,a=5, xn0.6990,a=11, xn1.7260, 0.3568,a=15, xn?,平衡点与稳定性,研究a的大小对鲑鱼数量xn变化规律的影响,平衡点 x*:,平衡点 x*稳定条件:,当 时x*稳定,数值解中a=5,