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专题六 数列1.(15北京理科)设是等差数列. 下列结论中正确的是A若,则 B若,则C若,则 D若,则【答案】C考点:1.等差数列通项公式;2.作差比较法2.(15北京理科)已知数列满足:,且记集合()若,写出集合的所有元素;()若集合存在一个元素是3的倍数,证明:的所有元素都是3的倍数;()求集合的元素个数的最大值【答案】(1),(2)证明见解析,(3)8【解析】试题分析:()由,可知则;()因为集合存在一个元素是3的倍数,所以不妨设是3的倍数,用数学归纳法证明对任意,是3的倍数,当时,则M中的所有元素都是3的倍数,如果时,因为或,所以是3的倍数,于是是3的倍数,类似可得,都是3的倍数,从而对任意,是3的倍数,因此的所有元素都是3的倍数.第二步集合存在一个元素是3的倍数,所以不妨设是3的倍数,由已知,用数学归纳法证明对任意,是3的倍数;第三步由于中的元素都不超过36,中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,由定义可知,和除以9的余数一样,分中有3的倍数和中没有3的倍数两种情况,研究集合M中的元素个数,最后得出结论集合的元素个数的最大值为8.试题解析:()由已知可知:()因为集合存在一个元素是3的倍数,所以不妨设是3的倍数,由已知,可用用数学归纳法证明对任意,是3的倍数,当时,则M中的所有元素都是3的倍数,如果时,因为或,所以是3的倍数,于是是3的倍数,类似可得,都是3的倍数,从而对任意,是3的倍数,因此的所有元素都是3的倍数.()由于中的元素都不超过36,由,易得,类似可得,其次中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,另外,M中的数除以9的余数,由定义可知,和除以9的余数一样,考点:1.分段函数形数列通项公式求值;2.归纳法证明;3.数列元素分析.3.(15北京文科)已知等差数列满足,()求的通项公式;()设等比数列满足,问:与数列的第几项相等?【答案】(1);(2)与数列的第63项相等.【解析】试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用等差数列的通项公式,将转化成和d,解方程得到和d的值,直接写出等差数列的通项公式即可;第二问,先利用第一问的结论得到和的值,再利用等比数列的通项公式,将和转化为和q,解出和q的值,得到的值,再代入到上一问等差数列的通项公式中,解出n的值,即项数.试题解析:()设等差数列的公差为d.因为,所以.又因为,所以,故.所以 .()设等比数列的公比为.因为,所以,.所以.由,得.所以与数列的第63项相等.考点:等差数列、等比数列的通项公式.4.(15年广东理科)在等差数列中,若,则= 【答案】【解析】因为是等差数列,所以,即,故应填入【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算,属于容易题5.(15年广东理科)数列满足 , . (1) 求的值; (2) 求数列前项和; (3) 令,证明:数列的前项和满足【答案】(1);(2);(3)见解析(3)依题由知,【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前项和、不等式放缩等知识,属于中高档题6.(15年广东文科)若三个正数,成等比数列,其中,则 【答案】【解析】试题分析:因为三个正数,成等比数列,所以,因为,所以,所以答案应填:考点:等比中项7.(15年广东文科) 设数列的前项和为,已知,且当时,求的值;证明:为等比数列;求数列的通项公式【答案】(1);(2)证明见解析;(3) 考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的通项公式.8.(15年安徽理科)设,是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标,(1)求数列的通项公式;(2)记,证明. 9.(15年安徽文科)已知数列中,(),则数列的前9项和等于 。【答案】27考点:1.等差数列的定义;2.等差数列的前n项和.10.(15年安徽文科)已知数列是递增的等比数列,且(1)求数列的通项公式;(2)设为数列的前n项和,求数列的前n项和。【答案】(1)(2) .学优高考网考点:1.等比数列的性质;2.裂项相消法求和.11.(15年福建理科)若 是函数 的两个不同的零点,且 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 的值等于( )A6 B7 C8 D9【答案】D【解析】试题分析:由韦达定理得,则,当适当排序后成等比数列时,必为等比中项,故,当适当排序后成等差数列时,必不是等差中项,当是等差中项时,解得,;当是等差中项时,解得,综上所述,所以,选D考点:等差中项和等比中项12.(15年福建文科)若 是函数 的两个不同的零点,且 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 的值等于_【答案】9考点:等差中项和等比中项13.(15年福建文科)等差数列中,()求数列的通项公式;()设,求的值【答案】();()【解析】试题分析:()利用基本量法可求得,进而求的通项公式;()求数列前n项和,首先考虑其通项公式,根据通项公式的不同特点,选择相应的求和方法,本题,故可采取分组求和法求其前10项和试题解析:(I)设等差数列的公差为由已知得,解得所以考点:1、等差数列通项公式;2、分组求和法14.(15年新课标2理科)等比数列an满足a1=3, =21,则 ( )(A)21 (B)42 (C)63 (D)84【答案】B15.(15年新课标2理科)设是数列的前n项和,且,则_【答案】【解析】由已知得,两边同时除以,得,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,所以16.(15年新课标2文科)设是等差数列的前项和,若,则( )A B C D【答案】A【解析】试题解析:,.故选A.考点:等差数列17.(15年新课标2文科)已知等比数列满足,则( ) 【答案】C【解析】试题分析:由题意可得,所以 ,故 ,选C.考点:等比数列.18.(15年陕西理科)中位数1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为 【答案】【解析】试题分析:设数列的首项为,则,所以,故该数列的首项为,所以答案应填:考点:等差中项19.(15年陕西文科)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为_【答案】5考点:等差数列的性质.20.(15年陕西文科)设(I)求;(II)证明:在内有且仅有一个零点(记为),且.【答案】(I) ;(II)证明略,详见解析.【解析】试题分析:(I)由题设,所以,此式等价于数列的前项和,由错位相减法求得; (II)因为,所以在内至少存在一个零点,又,所以在内单调递增,因此,在内有且只有一个零点,由于,所以,由此可得故,继而得.试题解析:(I)由题设,所以 由 得 ,所以 (II)因为,所以在内至少存在一个零点,又所以在内单调递增,因此,在内有且只有一个零点,由于,所以由此可得故所以考点:1.错位相减法;2.零点存在性定理;3.函数与数列.21.(15年天津理科)已知数列满足,且成等差数列.(I)求q的值和的通项公式;(II)设,求数列的前n项和.【答案】(I) ; (II) .【解析】试题分析:(I)由得 先求出,分为奇数与偶数讨论即可;(II)求出数列的通项公式,用错位相减法求和即可.试题解析:(I) 由已知,有,即,所以,又因为,故,由,得,当时,当时,所以的通项公式为考点:1.等差中项定义;2.等比数列及前项和公式.3.错位相减法.22.(15年天津文科)已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.(I)求和的通项公式;(II)设,求数列的前n项和.【答案】(I),;(II)【解析】试题分析:(I)列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项;(II)用错位相减法求和.试题解析:(I)设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为.(II)由(I)有 ,设的前n项和为 ,则 两式相减得所以 .考点:1.等差、等比数列的通项公式;2.错位相减法求和.23.(15年天津文科)已知函数(I)求的单调性;(II)设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;(III)若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】(I) 的单调递增区间是 ,单调递减区间是;(II)见试题解析;(III)见试题解析.【解析】试题解析:(I)由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增;当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.(II)设 ,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令 即 则.由于在 单调递减,故在 单调递减,又因为,所以当时,所以当时,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.考点:1.导数的几何意义;2.导数的应用.24.(15年浙江理科) 25.(15年湖南理科)设为等比数列的前项和,若,且成等差数列,则 .【答案】.考点:等差数列的通项公式及其前项和.26.(15年山东理科)设数列的前项和为,已知()求数列的通项公式;()若数列满足,求数列的前项和.解:()由可得,而,则()由及可得 .27.(15年江苏)数列满足,且(),则数列的前10项和为 【答案】【解析】试题分析:由题意得:所以考点:数列通项,裂项求和28.(15年江苏)设是各项为正数且公差为d的等差数列 (1)证明:依次成等比数列; (2)是否存在,使得依次成等比数列,并说明理由;来源:学科网ZXXK (3)是否存在及正整数,使得依次成等比数列,并说明理由.【答案】(1)详见解析(2)不存在(3)不存在(2)令,则,分别为,(,)假设存在,使得,依次构成等比数列,则,且令,则,且(,),化简得(),且将代入()式,则显然不是上面方程得解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在,使得,依次构成等比数列(3)假设存在,及正整数,使得,依次构成等比数列,则,且分别在两个等式的两边同除以及,并
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