数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 的值为A. B. C. D. 2. 下列关于向量的描述正确的是A. 若向量都是单位向量，则B. 若向量都是单位向量，则C. 任何非零向量都有唯一的单位向量D. 平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆3. 已知点在第三象限，则角的终边在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 下列函数中，既是偶函数又有零点的是A. B. C. D. 5. 已知，则A. M，N，P三点共线B. M，N，Q三点共线C. M，P，Q三点共线D. N，P，Q三点共线6. 函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A. ，B. ，C. ，D. ，7. 已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则；中正确的等式的个数是A. 4B. 3C. 2D. 18. 已知是定义在R上周期为2的函数，当时，那么当时，A. B. C. D. 9. 函数，的单调递增区间是A. B. C. D. 和10. 已知是平面内的一个单位向量，与的夹角为，则与的夹角是A. B. C. D. 11. sin3，的大小关系是A. B. C. D. 12. 在直角梯形ABCD中，P为线段含端点上的一个动点，设，对于函数，下列描述正确的是A. 的最大值和a无关B. 的最小值和a无关C. 的值域和a无关D. 在其定义域上的单调性和a无关二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知，则_14. 已知，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为_15. 已知，则_16. 在中，已知是的外心，若，则_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知角的终边上一点P是直线与圆的交点，求的值18. 已知向量与互相垂直，其中角是第三象限内的角的值；求的值19. 已知求向量的夹角；求20. 已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再将所得到的图象向左平移个单位长度写出函数的解析式和其图象的对称中心坐标；已知关于x的方程在上有两个不同的解，求实数m的取值范围和的值21. 如图，点是函数的图象与y轴的交点，点Q，R是该函数图象与x轴的两个交点求的值；求，解关于x的不等式22. 已知对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P已知平面内点，点把点B绕点A逆时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标；设平面内曲线C上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线，求原来曲线C的方程，并求曲线C上的点到原点距离的最小值答案和解析1.【答案】A【解析】解：，故选：A原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键2.【答案】D【解析】解：若向量都是单位向量，则不一定成立，方向不一定相同；B.若向量都是单位向量，则不一定成立，方向不一定相同；C.任何非零向量都有两个方向相反的单位向量，因此不正确；D.平面内起点相同的所有单位向量的终点都在以起点为圆心，1为半径的单位圆上，因此所有终点那个点共圆，正确故选：D利用单位圆的定义、向量共线定理、向量相等等知识即可判断出结论本题考查了单位圆的定义、向量共线定理、向量相等、命题真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.【答案】B【解析】解：点在第三象限，则角的终边在第二象限，故选：B根据点的位置结合三角函数的符号进行判断，本题主要考查角的象限的确定，根据三角函数值的符号和角的关系是解决本题的关键4.【答案】D【解析】解：显然没有零点，不符合题意；由于恒成立，显然没有零点，不符合题意；为奇函数，不符合题意；为偶函数，且当时，有零点故选：D先根据偶函数的定义检验各选项，然后再判断零点的存在情况即可本题主要考查了函数奇偶性的判断及零点存在情况的判断，属于基础试题5.【答案】B【解析】解：，N，Q三点共线故选：B利用向量共线定理即可判断出结论本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.【答案】C【解析】解：由图可知，则，轴左侧第一个最高点的横坐标为，y轴右侧第一个最底点的横坐标为的单调递减区间为，故选：C由图象可得函数正确，进一步求出离y轴最近的两对称轴的横坐标，数形结合可得的单调递减区间本题考查由型的部分图象求函数解析式，考查三角函数的性质，是基础题7.【答案】B【解析】解：因为点E，F分别为AB、BC的中点，所以，而与不是恒等的，即错误；，即正确；因为点E，H分别为AB、AD的中点，所以，即正确，即正确；所以正确的有，故选：B根据平面向量的线性运算法则逐一判断每个选项即可本题考查平面向量的线性运算，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题8.【答案】C【解析】解：当时，故选：C当时，再利用周期性即可得出本题考查了函数求值、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查诱导公式，正弦函数的单调性，属于基础题由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论【解答】解：函数，令，求得，故函数y的增区间为，再结合，可得函数的单调递增区间是：、，故选D10.【答案】C【解析】解：是平面内的一个单位向量，与的夹角为，设与的夹角为，则，又，故选：C根据题意求出，再利用向量夹角公式计算即可本题主要考查了向量的夹角公式，是中档题11.【答案】A【解析】解：因为；即：；故选：A分别判断每个值的范围即可得到结论本题主要考查三角函数性质的应用以及特殊角的三角函数值，属于基础题目，也是易错题12.【答案】A【解析】解：以B为原点，BA和BC分别为x和y轴建立如图所示的直角坐标系，则，设，因为，所以，解得，所以点P的坐标为，所以，开口向上，对称轴为，当时，而，因此，当时，所以函数在内单调递减，综上所述，函数的最大值与a无关故选：A根据题意，以B为原点，BA和BC分别为x和y轴建立平面直角坐标系，然后利用平面向量的坐标运算表示出函数，在根据对称轴与1的大小关系，分两类和讨论函数的单调性与最值，从而得解本题考查平面向量在几何中的应用，考查学生数形结合的能力和运算能力，属于中档题13.【答案】【解析】解：，故答案为：利用和对所求的代数式进行转化并求值本题主要考查了同角平方关系在三角化简求值中的应用，属于中档试题14.【答案】【解析】解：设点，点P在线段AB的延长线上，且即解得点P的坐标故答案为利用向量的坐标运算和向量共线及其相等即可得出点评：熟练掌握向量的坐标运算和向量共线及其相等是解题的关键15.【答案】【解析】解：已知，则，故答案为：由题意利用诱导公式、两角和的三角公式，花简所给的式子，可得要求的式子的值本题主要要考查诱导公式、两角和的三角公式的应用，属于基础题16.【答案】【解析】解：，又，故答案为：根据题设，建立关于x，y的方程组，解出即可求得的值本题主要考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题17.【答案】解：联立，解得或，则，或，则或【解析】联立直线与圆方程得到交点坐标，进而可求出与的值本题考查直线与圆的交点，考查点坐标与角正余弦的关系，属于中档题18.【答案】解：由题意可得，所以，；【解析】由已知结合向量垂直的坐标表示可求，结合同角平方关系对被开方数进行变形，即可化简；对所求式子分母添上1，然后利用同角基本关系转化为关于的关系式，即可求解本题主要考查了向量垂直的坐标表示及同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档试题19.【答案】解：由，所以，所以；所以，又，所以向量的夹角为；，所以【解析】由平面向量的数量积求和的值；根据平面向量的数量积求模长本题考查了平面向量的数量积以及三角函数的运算问题，是基础题20.【答案】解：先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，可得的图象；再将所得到的图象向左平移个单位长度，得到的图象令，求得，可得函数的图象的对称中心为，在上，关于x的方程在上有两个不同的解，且，故【解析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，求出函数的图象的对称中心由题意利用余弦函数的定义域和值域，求出m的范围，再利用余弦函数的图象的对称性，求出的值，可得的值本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，属于中档题21.【答案】解：函数经过点，又，且点P在递增区间上，由可知，令，得，或，又，解得： 负值舍；故关于x的不等式的解集为：；【解析】由函数经过点，可求得，且点P在递增区间上可求得；由可知，令可求得或，从而可得P、Q、R的坐标，利用，得，从而可求得进而求解不等式本题考查由的部分图象确定其解析式，考查向量的坐标运算，求得P、Q、R的坐标是关键，着重考查向量的数量积的应用，属于中档题22.【答案】解：由已知可得，把点绕点A逆时针方向旋转后得，点，点P的坐标为；设平面内曲线C上的，则其绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点，点在曲线上，整理得：，即原来曲线C的方程为：，设曲线C上任意一点M的坐标为，点M到原点的距离，当且仅当，即时，等号成立，曲线C上的点到原点距离的最小值为【解析】利用题中的新定义，可先计算出，再结合点A坐标，利用向量的减法，即可求出点P的坐标；设平面内曲线C上的，根据新定义可其绕坐标原点沿逆时针方向旋转后点的坐标，再把点的坐标代入曲线，即可求得原来曲线C的方程，根据曲线C的方程，设曲线C上任意一点M的坐标为，利用两点间距离公式结合基本不等式即可求出曲线C上的点到原点距离的最小值本题主要考查了新定义的题型，以及求动点轨迹方程，是中档题