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1 第二章有理数及其运算 基本知识点 知识点 1 有理数的意义 (1)有理数:整数和分数统称为有理数。 (2)有理数的分类 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 负 分 数 负 整 数 负 有 理 数 零 正 分 数 正 整 数 正 有 理 数 有 理 数 重点提示 :零既不是正数,也不是负数;它是整数。自然数包括零和正整数。 知识点 2 几个重要概念:数轴、相反数、绝对值、倒数 (1)数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的三要素:原点、正方向、单位长度 数轴的用途: 用数轴表示数: 所有的实数都可以用数轴上的点来表示,数轴上的任一点都表示一个实数。 实数和数轴上的点是一一对应的。 用数轴比较两个数的大小: 在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负 数。 重点提示 :任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点不一定表示有理数。 (2)相反数 如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个是另一个的相反数,也称这两个数互为相反数。 特别地, 0 的相反数是0。 重点提示 :相反数是两个数之间的一种相互关系,是成对出现的。 相反数的性质: 任何一个数都有一个相反数,并且只有一个相反数。 正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0 的相反数是0。 2 互为相反数的两个数之和为0。反过来,和为0 的两个数互为相反数。 相反数求法: 求一个数的相反数只需在这个数的前面加上一个负号就可以了。 (3)绝对值 在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|。 )0( )0(0 )0( | aa a aa a 重点提示 :有理数 a 取任何值,它的绝对值总是非负数(正数或0) 。即对任意有理数,总有|a| 0。 (4)倒数与负倒数 定义:乘积为1 的两个有理数互为倒数。乘积为1 的两个有理数互为负倒数。 倒数的求法: 求一个数的倒数,直接写成这个数分之一; 求一个分数的倒数,只要将分子、分母颠倒即可; 求一个带分数的倒数,应先将带分数化成假分数,再求倒数; 求一个小数的倒数,应先将小数化成分数,再求倒数。 重点提示 :零没有倒数,其它任何有理数均有倒数。正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。 知识点 3 有理数的运算 加法:a+b=b+a (a+b)+c=a+ (b+c ) 减法:减去一个数等于加上这个数的相反数。 乘法:ab=ba(ab)c=a(bc)a(b+c)=ab+ac 除法:除以一个数等于乘这个数的倒数。即)0( 1 b b aba。 乘方:求几个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂。 乘方的性质:正数的任何次幂都是正数。负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数。0 的任何次幂 都是 0。任何数a 的偶次幂为非负数,即a 2n0(n 是整数)。 有理数的运算顺序:先算乘方、再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号里面的。 重点提示:同级运算中,按照从左往右的先后顺序进行计算。 一个正数的绝对值是它本身 零的绝对值是零 一个负数的绝对值是它的相反数 3 综合方法 非负数及其性质 (1)非负数 若数0a,称 a 为非负数,初中阶段有三种非负数: | a , 2 a , a 。 (2)非负数的性质 若几个非负数的和为零,则这几个非负数都为零。 例若0)3(|5| 2 ba,则ba。 有理数大小比较的方法 (1)数轴比较法 将两个数分别在数轴上表示出来,右边的总比左边的大,表示同一点的两个数相等。 (2)差值比较法 设 a 、b为任意两数,则baba0,baba0,baba0 (3)商值比较法 设 a 、b为两个正有理数,则ba b a 1,ba b a 1,ba b a 1 (4)绝对值比较法 设 a 、b为两个负有理数,则baba|,baba|,baba| 此外还有倒数法、平方法、特殊值法等。 重要例题分类解析 【题例 1】有理数的意义 例 1 把下列各数填入相应集合的括号内: . 20 3 5,4.3,3, 1,0%,8.9,20, 9 8 ,3.6 整数集合: ; 分数集合: ; 正有理数集合: ; 非正有理数集合: 。 【题例 2】有理数的重要概念 例 2 3 1 的相反数是, 3 1 的绝对值是, 3 1 的倒数是。 4 例 3 已知实数 a 、b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是() 。 A0abB |ba C0baD0ba 【题例 3】有理数的混合运算 例 4 |4.2|)8.4(5。 例 5 按一定规律排列的一列数依次为:. 35 1 , 26 1 , 15 1 , 10 1 , 3 1 , 2 1 ,按此规律排列下去,这列数中的第7 个 数是。 【题例 4】利用非负数的性质解题 例 6 若03|2|ba,则ba2 2 。 例 7 若|1|ba与42ba互为相反数,则 2004 )(ba。 【题例 5】有理数的大小比较 例 8 下列四个数中,在2 和 1 之间的数是() A.3 B. 0 C.2 D.3 例 9 比较大小: 3 2 4 3 。 中考最新动向分析 定义新运算 例 10 现规定一种新的运算“* ” : b aba,如9323 2 ,则3 2 1 。 创新应用题 例 11 某项科学研究,以45 分钟为 1 个时间单位,并记每天上午10 时为 0,10 时以前记为负,10 时以 后记为正,例如9:15 记为 1,10:45 记为 1 等等。依此类推,上午7:45 应记为() A. 3 B. 3 C. 2.5 D. 7.45 例 12 一跳蚤在一直线上从O 点开始,第1 次向右跳 1 个单位,紧接着第2 次向左跳 2 个单位,第3 次向 右跳 3 个单位, 第 4 次向左跳4 个单位 , 依次规律跳下去,当它跳第 100 次落下时, 落点处离O 点的距 离是个单位,且在O 点的边。 1 0 1 a 1 1 1 b 1 1
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