学 海 无 涯 小学“数学广角”内容解读 一、“数学广角”的编排意图。 “数学广角”是人教版新课标实验教材伴随着新课程改革新增设的一大教学内 容模块，是人教版教材中的一个亮点，也是一种新的尝试。它系统而有步骤地向 学生渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形 式，采用生动有趣的事例呈现出来。 在小学数学教学阶段有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法可以加深学生 对数学概念、公式、定律的理解，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段， 是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径， 也是小学数学新课程改革的真正内涵之所在。数学课程标准中明确提出了： “让学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学 知识以及基本的数学思想方法。”为了有效落实这一总体目标，人教版教材编排 中不但加大力度把数学思想渗透在数与代数、量与计量等每一个知识板块中，更 以新增设的单元“数学广角”为呈现形式，进一步集中向学生渗透数学思想方 法。 二、“数学广角”的内容体系,学 海 无 涯,数学课程标准中指出：“重要的数学概念与数学思想宜逐级递进、螺旋上 升。”教材在“数学广角”内容的编排上注意体现了这一要求，系统而有步骤 地渗透数学思想方法。 例如在渗透排列和组合的数学思想方法时，实验教材先在二年级上册教材中， 安排学生初步接触一点排列与组合知识，让学生通过观察、猜测以及实验的方 法可以找出最简单的事物的排列数和组合数。如用两个数字卡片组成两位数的 排列数，三个小朋友两两握手的组合数等。而在三年级上册教材中又继续学习 排列与组合的内容。但目标定位为在学生已有知识和经验的基础上，继续让学 生通过观察、猜测、实验等活动找出事物的排列数和组合数。如两件上装和三 件下装有多少种不同的搭配等数学问题。与二年级上册教材相比，三年级教材 的内容则更加系统和全面，分别介绍排列以及组合。 综观整个十二册教材中的“数学广角”，从简单的分类思想到较为抽象的运筹 思想、对策论以及最后一册更为复杂的抽屉原理，无不体现了思维层次是从低 到高，从具体到抽象，逐级递进、螺旋上升，向学生逐步渗透这些数学思想方 法，以符合数学认知规律。 它们各个内容之间又存有一定的联系，准确把握各册教材的联结点有助于解读 教材。譬如，第七册的运筹问题、第十册的找次品问题以及第十二册的抽屉原 理，解决问题时都要考虑“至少”的问题，都在多种解决策略中寻找最佳最优 的策略，都要运用推理能力和渗透优化思想。学习“数字编码”的时候，自然 地要同“找规律”这一个知识点进行嫁接；解决“封闭方阵中的植树问题”时 需要用 “重叠问题”来诠释；植树问题和鸡兔同笼问题都很注重数学模型的构 建，一般都得经历“问题模型构建模型解释应用模型”的学习过 程 第一学段，数学广角出现了简单的排列组合、简单的推理、集合思想、等量代换 等内容，让学生通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，初步感受数 学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有顺序、全面思考问 题的意识，同时培养他们探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识， 进而达到数学课程标准第一学段的要求：使学生“在解决问题的过程中，能 进行简单的、有条理的思考”。 第二学段渗透了优化思想、对策论、解决由植树引发出来的问题、数字编码、假 设法、抽屉原理等数学思想方法，一方面继续让学生感悟数学思想方法，感受数 学的魅力，培养学生分析、推理的能力，逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，,学 海 无 涯 另一方面加强了综合运用知识解决问题和解决问题策略多样化的教学，使学生逐 步提高数学思维能力和解决问题的能力。 从教学目标的把握来看，数学广角的教学首先应定位于通过数学活动，让学生 感受数学的思想方法，学会运用数学思想方法尝试解决问题，体验解决问题的 策略、方法。 因为数学广角是面向全体学生渗透数学思想方法的，意图是让每一个学生受到 数学思维训练的同时，逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学 美的意识。因此，要防止把数学广角当做奥数培训课进行“英才”教育，它需 要更多地、有计划地创设实践活动，让全体学生去观察、研究、尝试，重在活 动中对思想方法的感悟。 下面我们逐册分析一下它们的编排结构和教学目标： 一上“分类”的教学目标： 教材按由易到难的顺序，分别安排了单一标准的分类和不同标准的分类两部分 内容。教材首先安排了一个学生熟悉的文具商店的情景图，货架上的文具按不 同的类别放在不同的位置，一方面，可以让学生认识到把同类文具（例如，直 尺、三角尺和量角器）放在一起，可以方便快捷地找到自己需要的文具，使学 生体会到分类的意义和必要性。另一方面，可以让学生自己发现为什么要把某 些物品放在一起的原因，找出分类的标准。接着安排了一个按不同标准进行分 类的活动情景。三个学生按不同的标准对同一堆铅笔分成不同的类，第一个同 学是按铅笔的颜色分的，第二个同学是按铅笔有无橡皮头来分的，第三个同学 是按铅笔有无削过来分的。使学生看到，分类的标准不同，分类的结果也不同。 教学中要注意让学生真正地活动起来，学生在操作、活动的过程中，能更牢固 地掌握选择分类标准、正确分类的方法，动手操作能力和探索意识也能更好地 得以发展。 能按照某一给定的标准或选择某个标准对物体进行分类。 能选择不同的标准对物体进行不同的分类。 在分类活动中，体验分类结果在单一标准下的一致性、不同标准下的多样性 一下“*找规律：探索图案和数字简单的排列规律” （例 1例 3，有一个基本的循环组，以它为基础，重复出现。循环组中每种图 形只有一个，例 4例 5，也有一个基本的循环组，循环组中有的图形不止一个， 从数量的角度观察，数字的排列规律，也是循环出现的。如 1、2、1、2、 或 2、3、2、3。例 6例 7，是图形与数字变化规律，要从图形的数量上去 寻找规律。例 7 中数字的排列规律是等差数列。例 8，没有图形，只有数，通过,学 海 无 涯 观察找出数的排列规律，抽象程度更高。也是等差数列。仅限于简单的：循环 出现的、等差数列。） 教学目标： 使学生通过观察、实验、猜测、推理等活动发现图形的形状和位置的变化规 律及数字简单的排列规律 培养学生初步的观察、推理能力。 培养学生发现和欣赏数学美的意识。 二上数学广角“*简单的排列 *简单的逻辑推理” 例 1 是最简单的排列（与顺序有关，用两张或 3 张数字卡片摆两位数）通过操 作感受摆的方法，让学生体会：怎样摆才能保证不重复不遗漏。“做一做”3 个 小朋友两两握手属于组合，选定的一组事物与顺序无关。 例 2 是最简单的推理知识，让学生根据已知的两个条件通过活动判断出结论， 例 2 给出了两个活动，通过这两个活动使学生感受简单推理的过程，初步获得 一些简单推理的经验。 例 3 在例 2 的基础上加了一个条件，难度稍有增加。实际上例 3 可以转化为例 2 的形式。小红拿的是语文书，说明小丽和小刚拿的是数学和社会书，再根据条 件判断，与例 2 就非常类似了。 教学目标： 使学生通过观察、猜测、实验等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。 培养学生初步的观察、分析及推理能力。 初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。 二下“*找规律：铺地砖花纹的规律 等差数列的探究规律” 例 1 是在主题图的基础上设计的图形的变化规律。每组图形呈循环排列：从左 边起，每组图形中的第一个图形在下一组中变成第四个图形，第二个图形变成 第一个图形如此循环排列。例 2 是图形和数列的变化规律，与一年级下册 第 91 页例 7 类似的地方是：无论是图形还是数的排列，不再研究形状和位置的 变化，而是研究数量的变化，图形的变化也要通过计算相邻两项数量的差来找 出规律。与例 7 不同的地方是：它的规律是每相邻两项的差组成一个新的数列， 这个新的数列是等差数列。,学 海 无 涯,教学目标 使学生通过观察、猜测、实验、推理等活动发现图形和数的排列规律。 培养学生的观察、操作及归纳推理的能力。 培养学生发现和欣赏数学美的意识，运用数去创造美的意识；使学生知道生 活中事物有规律的排列隐含着数学知识。 三上数学广角“*简单的组合 *简单的排列” 例 1 通过探讨衣服和裤子的不同搭配，找出不同穿法的组合数。上下装搭配的 每种穿法需要两步来确定，一步是上装的选择，一步是下装的选择，一件上装 搭配一件下装就是一种穿法。教材在这里给出两种连线方法：先确定一件上装， 对这件上装与不同的下装进行搭配连线，然后再进行另一件上装与下装的连线， 这样就得到第一种连线方法（图一），说明只要有顺序的搭配连线，就能保证 不重不漏。在此基础上将两个连线图合并起来就可得出另一种连线方法（图二）。 这里只要学生能掌握一种连线方法就行了！ 例 2 教学简单的排列，用 3 个数字卡片摆三位数，数字卡片的排列顺序不同， 就表示不同的三位数。通过比较引导出一个既清楚明了又不重不漏的记录方法： 先确定百位上的数字，然后是十位数字和个位数字。这个例题能很好的培养学 生有顺序地、全面地思考问题的意识。 例 3 通过探索 4 个队一共要踢多少场球，学习简单的组合。组合与排列的区别 是排列与事物的顺序有关，而组合与事物的顺序无关。例 3 是以中国队参加的 XXXX 年世界杯足球赛为背景，中国队所在的 C 组共有四个国家足球队，小组赛 时每两个队踢一场比赛，看看一共要踢多少场。这里每场比赛只与哪两个队有 关，与两个队的顺序无关。每两个队连一条线，就代表要踢一场比赛。这里也 给出两种连线方法：一种是把四个队摆成正方形，两两相连；另一种是一字摆 开，每个队都与其他三个队相连。 教学目标 1使学生通过观察、猜测、实验等活动，找出简单事物的排列数和组合数。 培养学生初步的观察、分析及推理能力以及有顺序地、全面地思考问题的意 识。 使学生感受数学在现实生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生 活中的问题。 使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯，并初步学会表达解决问题的 大致过程和结果。,学 海 无 涯 建议：只要求学生能根据实际问题采用罗列、连线等方式找出简单事物的排列数 和组合数，并能感受到有的与顺序有关，有的与顺序无关，不要提高要求。教师 教学语言中尽量避免出现排列、组合这些术语，也不要跟学生解释。 三下数学广角“*重叠问题 *等量代换” 例 1 借助学生熟悉的题材，渗透集合的有关思想，并利用直观图的方式求出两 个小组的总人数。教材通过统计表让学生看出：参加语文小组的有 8 人，参加 数学小组的有 9 人。但实际上参加这两个课外小组的总人数却不是 17 人，引起 学生的认知冲突。这时，教材利用直观图把这两个课外小组的关系直观地表示 出来。从图上可以很清楚地看出，有 3 名学生同时属于这两个小组，所以计算 总人数时只能计算一次。同时可以让学生说一说图中不同位置所表示的不同意 义，如中间部分表示同时参加两个小组的同学，左侧是只参加语文小组而不参 加数学小组的学生，右侧是只参加数学小组而不参加语文小组的学生。最后， 再让学生列式求出参加语文小组和数学小组的共有多少人。 例 2 利用天平的原理，使学生初步体会等量代换的思想方法，为以后学习简单 的代数知识做准备。当天平平衡时，左右两边的物体同样重。所以，从第一个 图中可以看出，一个西瓜重 4 千克，从第二个图中可以看出，四个苹果重 1 千 克，让学生思考一个西瓜和多少个苹果同样重。在这里还不能直接运用等量代 换，需要学生首先考虑：一个西瓜和 4 千克砝码同样重，4 千克砝码和多少个苹 果同样重呢？引导学生想出如果第二个图中天平的右边变成原来的 4 倍，左边 也要变成原来的 4 倍（即 16 个苹果），天平才能保持平衡，所以一个西瓜和 16 个苹果同样重。 教学目标 1使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。 2使学生在解决实际问题的过程中体会等量代换的思想。 建议：集合和等