2016年中考数学专题复习第十七讲 三角形与全等三角形【基础知识回顾】三角形的概念： 1、由 直线上的三条线段 组成的图形叫三角形 2、三角形的基本元素：三角形有 条边 个顶点 个内角二、三角形的分类： 按边可分为 三角形和 三角形，按角可分为 三角形 三角形 三角形【名师提醒：等边三角形属于特殊的 三角形，锐角三角形和钝角三角形有事称为 三角形】三、三角形的性质： 1、三角形的内角和是 三角形的任意一个外角 和它不相得两个内角的和三角形的一个外角 任意一个和它不相邻的内角 2、三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边 3、三角形具有 性【名师提醒：1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的 组成的角，三角形有 个外角，三角形的外角和事 ，是其中 各外角的和 2、三角形三边关系定理是确定三条线段否构成三角形和判断限度间不等关系的主要依据】四、三角形中的主要线段： 1、角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形 部 且交于一点，这些是三角形的 心 它到 得距离相等 2、中线：三角形的三条中线都在三角形 部，且交于一点 3、高线：不同三角 形 的 三 条高线位置不同，锐角三角形三条高都连三角形 直角三角形有一条高线在 部，另两条河 重合，钝角三角形有一条高线在三角形 部，两条在三角形 部4、中位线：连接三角形任意两边 的线段叫做三角形的中位线。 定理：三角形的中位线 第三边且等于第三边的 【名师提醒：三角形的平分线、中线、高线、中位线都是 且都有 条】五、全等三角形的概念和性质： 1、 的两个三角形叫做全等三角形 2、性质：全等三角形的 、 分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应 【名师提醒：全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据】一、 全等三角形的判定：1、一般三角形的全等判定方法：边角边，简记为 角边角：简记为 角角边：简记为 边边边：简记为 2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用 来判定【名师提醒：1、判定全等三角形的条件中，必须至少有一组 对应相等，用SAS判定全等，切记角为两边的 2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字】【重点考点例析】 考点一：三角形内角、外角的应用例1 （2012南通）如图，ABC中，C=70，若沿图中虚线截去C，则1+2=（）A360 B250 C180 D140思路分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出1+2=C+（C+3+4），再根据三角形内角和定理即可得出结果解：1、2是CDE的外角，1=4+C，2=3+C，即1+2=C+（C+3+4）=70+180=250故选B点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和对应训练1（2012泉州）如图，在ABC中，A=60，B=40，点D、E分别在BC、AC的延长线上，则1= 180分析：先根据三角形内角和定理求出ACB的度数，再根据对顶角相等求出1的度数即可解：ABC中，A=60，B=40，ACB=180-A-B=180-60-40=80，1=ACB=80故答案为：80点评：本题考查的是三角形的内角和定理，即三角形内角和是180 考点二：三角形三边关系例2 （2012泸州）已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（）A13 B11 C11 或13 D12或152分析：首先从方程x2-6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长解：由方程x2-6x+8=0，得：解得x1=2或x2=4，当第三边是2时，2+36，不能构成三角形，应舍去；当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13故选A点评：考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之对应训练1（2012义乌市）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（）A2 B3 C4 D8思路分析：根据三角形三边关系，可令第三边为X，则5-3X5+3，即2X8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是4，6问题可求解：由题意，令第三边为X，则5-3X5+3，即2X8，第三边长为偶数，第三边长是4或6三角形的三边长可以为3、5、4故选：C点评：此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键考点三：三角形全等的判定例3 （2012乐山）如图，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；点C到线段EF的最大距离为其中正确结论的个数是（）A1个 B2个 C3个 D4个 思路分析：作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证CDF和ADE全等，从而可证EDF=90，DE=DF所以DFE是等腰直角三角形；当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变；DEF是等腰直角三角形DE= EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离解：如图，连接CD；ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB；AE=CF，ADECDF；ED=DF，CDF=EDA；ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90，DFE是等腰直角三角形故此选项正确；当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项错误；如图2所示，分别过点D，作DMAC，DNBC，于点M，N，可以利用割补法可知四边形CDFE的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变；故此选项错误；DEF是等腰直角三角形DE=EF，当EFAB时，即EF取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离为故此选项正确；故正确的有2个，故选：B点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CDFE的面积等于正方形CMDN面积是解题关键例4 （2012珠海）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45得到正方形ABCD（此时，点B落在对角线AC上，点A落在CD的延长线上），AB交AD于点E，连接AA、CE求证：（1）ADACDE；（2）直线CE是线段AA的垂直平分线思路分析：（1）根据正方形的性质可得AD=CD，ADC=90，EAD=45，则ADE=90，再计算出AED=45，根据等角对等边可得AD=ED，即可利用SAS证明AADCED；（2）首先由AC=AC，可得点C在AA的垂直平分线上；再证明AEBAED，可得AE=AE，进而得到点E也在AA的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA的垂直平分线证明：（1）四边形ABCD是正方形，AD=CD，ADC=90，ADE=90，根据旋转的方法可得：EAD=45，AED=45，AD=DE，在AAD和CED中： AD=CD，ADA=EDC，AD=ED，AADCED（SAS）；（2）AC=AC，点C在AA的垂直平分线上，AC是正方形ABCD的对角线，CAE=45，AC=AC，CD=CB，AB=AD，在AEB和AED中：EAB=EAD，AEB=AED ，AB=AD，AEBAED，AE=AE，点E也在AA的垂直平分线上，直线CE是线段AA的垂直平分线点评：此题主要考查了正方形的性质，以及旋转的性质，关键是熟练掌握正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；找准旋转后相等的线段对应训练3（2012鸡西）RtABC中，AB=AC，点D为BC中点MDN=90，MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点下列结论：（BE+CF）= BC；SAEFSABC；S四边形AEDF=ADEF；ADEF；AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A1个 B2个 C3个 D4个 3分析：先由ASA证明AEDCFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB= BC，从而判断；设AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面积公式得出SAEF=-（x-a）2+a2，SABC=a2=a2，再根据二次函数的性质即可判断；由勾股定理得到EF的表达式，利用二次函数性质求得EF最小值为a，而AD=a，所以EFAD，从而错误；先得出S四边形AEDF=SADC=AD，再由EFAD得到ADEFAD2，ADEFS四边形AEDF，所以错误；如果四边形AEDF为平行四边形，则AD与EF互相平分，此时DFAB，DEAC，又D为BC中点，所以当E、F分别为AB、AC的中点时，AD与EF互相平分，从而判断解：RtABC中，AB=AC，点D为BC中点，C=BAD=45，AD=BD=CD，MDN=90，ADE+ADF=ADF+CDF=90，ADE=CDF在AED与CFD中， ，AEDCFD（ASA），AE=CF，在RtABD中，BE+CF=BE+AE=AB=故正确；设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x