,学 海 无 涯 XXXX 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 2） 数学（文史类） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1. 设集合 A 1, 2,3, B 2,3, 4，则 A B ,A. 1，2，3, 4 2. (1 i)(2 i) A.1 i,B. 1，2，3 C. 2，3，4D. 1，3，4 B. 1 3i C. 3 i D. 3 3i,C. D. 2,函数 f (x) sin(2x ) 的最小正周期为 3 A.4 B.2 设非零向量a ， b 满足 a+b = a-b 则,A. a b B. a = b C. a b,D. a b,2,x2 ,5. 若a 1，则双曲线 y 1的离心率的取值范围是 a2,7. 设,A. （ 2，+） B. （ 2，2） C. （1，2） D. （1，2） 6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该 几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A. 90 B. 63 C. 42 D. 36 2x+3y 3 0, y 3 0,x, y 满足约束条件 2x 3y 3 0 。则,z 2x y 的最小值是, A. -15 B.-9 C. 1 D 9,函数 f (x) ln(x2 2x 8) 的单调递增区间是 A.(- ,-2) B. (- ,-1) C.(1, + ) D. (4, + ) 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人 中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁 看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则,A. 乙可以知道两人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩,B. 丁可能知道两人的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩,执行右面的程序框图，如果输入的a 1，则输出的 S= A.2 B.3 C.4 D.5 从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为,1 3,1 2,A. B. C. D. 10 5 10 5 12. 过抛物线C : y2 4x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交C 于点 M （ M 在 x 轴 上方）， l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为,A. 5 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 3 二、填空题，本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 函 数 f (x) 2cos x sin x 的 最 大 值 为 . 14. 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x(,0) 时， f (x) 2x3 x2 ，,学 海 无 涯 则 f (2) 长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c ，若2b cos B a cosC c cos A ，则 B 三、解答题： （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） 已知等差数列an 的前n 项和为 Sn ，等比数列bn 的前n 项和为Tn , a1 1， b1 1， a2 b2 2 . （1）若a3 b3 5 ，求bn 的通项公式； （2）若T3 21，求 S3 . 18.(12 分) 如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面,ABCD ， AB BC 1 AD ， BAD ABC 90 。,2 证明：直线 BC / 平面 PAD ； 若PCD 的面积为2 7 ，求四棱锥 P ABCD 的体积。,学 海 无 涯 19.（12 分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量 各 箱 水 产 品 的 产 量 （ 单 位 ： kg ） , 其 频 率 分 布 直 方 图 如 下 ：,（1） 记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）,填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：,（3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。 附：,2,n(ad bc)2,K ,(a b)(c d )(a c)(b d ),20.（12 分）,2,x2 2,y 1上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N ，点 P 满,设O 为坐标原点，动点 M 在椭圆C ： 足 NP 2 NM . （1）求点 P 的轨迹方程；,（2）设点Q 在直线 x 3上，且OP PQ 1 .证明：过点 P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点 F . （21）（12 分） 设函数 f (x) (1 x2 )ex . 讨论 f (x) 的单调性； 当 x 0 时， f (x) ax 1，求a 的取值范围.,学 海 无 涯 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐 标方程为 cos 4 （1） M 为曲线C1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足| OM | | OP |16 ,求点 P 的轨迹C2 的直 角坐标方程；,（2）设点 A 的极坐标为,(2, ) ，点 B 在曲线C2 上，求OAB 面积的最大值 3,23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知a 0,b 0, a3 b3 2 ，证明： （1） (a b)(a5 b5 ) 4 ； （2） a b 2 ,学 海 无 涯 XXXX 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 2）,二、填空题 13. 5 14. 12,15. 14.,16. 3,三、解答题 17. （ 12 分） 解： 设错误! 未找到引用源。的公差为 d ， 错误! 未找到引用源。的公比为 q ，则,n n,a 1 (n 1)d , b qn1 .由a b 2 得,2 2 d q 3. ,（1）由a3 b3 5 得 2d q2 6 ,联立和解得,（舍去），,d 3, d 1,q 0 q 2., ,n,因此 的通项公式b 2n1,1 3,（2）由b 1,T 21得 q2 q 20 0 .解得q 5, q 4,当 q 5时，由得d 8 ，则 S3 21.当q 4 时，由得d 1，则 S3 6 . 18.(12 分) 解：（1）在平面 ABCD 内，因为BAD ABC 90 ，所以 BC / AD . 又 BC 平面 PAD, AD 平面 PAD ，故 BC / 平面 PAD （2）取 AD 的中点 M ，连结 PM,CM . 1,由 AB BC AD 及 BC / AD ， ABC 90,平面,2 得四边形 ABCM 为正方形，则CM AD . 因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，平面 PAD ABCD AD ， 所以 PM AD, PM 底面 ABCD . 因为CM 底面 ABCD ，所以 PM CM .,设 BC x ，则CM x, CD 2x, PM 3x, PC PD 2x .取CD 的中点 N ，连结 PN ，则,14,2,PN CD ，所以 PN ,x,2 2,因为PCD 的面积为2 7 ，所以 1 2x 14 x 2 7 ，,解得 x 2（舍去）， x 2 . 于是 AB BC 2, AD 4, PM 2 3 . 所以四棱锥 P ABCD 的体积V 1 2(2 4) 2 3 4 3 3 2 19.（12 分） 解：（1）旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为 (0.012 0.014 0.024 0.034 0.040)5 0.62 因此，事件 A 的概率估计值为 0.62 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表,学 海 无 涯,2,K ,100 100 96 104,200 （62 66 34 38）2,15.705,由于 15.7056.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. （3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在 50kg 到 55kg 之间，旧 养殖法的箱产量平均值（或中位数）在 45kg 到 50kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法 的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法. 20.（12 分）解：（1）设 P(x, y) ， M (x0 , y0 ) ，则 N(x0 , 0), NP (x x0 , y), NM (0, y0 ),2,2,由 NP 2 NM 得 x0 x, y0 y,0 0,2 2,2 ,2 2 因为 M (x , y ) 在C 上，所以 x y 1. 因此点 P 的轨迹方程为 x2 y 2,2, 1 2) 单调递增.,（2）由题意知 F(1,0) 设Q(3,t), P(m, n)，则 OQ (3, t), PF (1 m, n), OQ PF 3 3m tn ， OP (m, n), PQ (3 m, t n) 由OQ PQ 1得3m m2 tn n2 1 又由（1）知m2 n2 2 ，故3 3m tn 0 所以OQ PF 0 ，即OQ PF . 又过点 P 存在唯一直线垂直于OQ ， 所以过点 P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点 F . （21）（12 分）解：（1） f (x) (1 2x x2 )ex 令 f (x) 0 得 x 1 2, x 1 2 当 x (, 1 2) 时， f (x) 0 ； 当 x (1 2, 1 2) 时， f (x) 0 ； 当 x (1 2, ) 时， f (x) 0 . 所以 f (x) 在(, 1 2),(1 2, ) 单调递减，在(1 （2） f (x) (1 x)(1 x)ex 当 a 1 时，设函数h(x) (1 x)ex , h(x) xex 0(x 0) ， 因此h(x) 在0, ) 单调递减， 而 h(0) 1，故h(x) 1， 所以 f (x) (x 1)