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河北省张家口市2019-2020学年第二学期高三年级第二次模拟考试理科数学一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式得到,再计算交集得到答案.【详解】,则.故选:C.【点睛】本题考查了解不等式,集合的交集,属于简单题.2.已知非零复数满足(其中是的共轭复数,是虚数单位),在复平面内对应点,则点的轨迹为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意,根据化简得,利用复数相等即可求解.【详解】因为,所以,因为在复平面内对应点,所以,所以,即,因为非零复数,所以,故点的轨迹为,故选:B【点睛】本题主要考查了复数的几何意义,复数的乘法运算,复数相等,属于中档题.3.若函数的部分图象如图所示,则函数可能为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由图象可知函数为奇函数,且当时,逐项判断各选项中函数的奇偶性及其在区间上的函数值符号,结合排除法可得合适的选项.【详解】由图象可知函数为奇函数,且当时,.对于A选项,该函数为偶函数,A选项不符;对于C选项,函数为偶函数,C选项不符;对于B选项,该函数为奇函数,且当时,此时,合乎题意;对于D选项,函数为奇函数,当时,D选项不符.故选:B.【点睛】本题考查利用函数的图象确定函数解析式,一般从函数的定义域、单调性、奇偶性、零点以及函数值符号来进行分析,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.4.已知为等差数列的前项和,若,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设等差数列的公差为,根据题意得出关于、的方程组,解出这两个量的值,进而可求得的值.【详解】设等差数列的公差为,则,解得,因此,.故选:D.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查计算能力,属于基础题.5.已知向量,的夹角为,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量运算结合三角恒等变换得到,得到答案.【详解】,故.故选:C.【点睛】本题考查了向量模,三角恒等变换,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6.已知定义在上的函数满足对其定义域内任意、,都有成立,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数,根据题意得出,推导出,进而可得出,由此可计算出所求代数式的值.【详解】由,得,构造函数,则,取,则,可得,令,所以,即且,因此,.故选:A.【点睛】本题考查抽象函数求值,推导出是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.7.今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”,某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念,庆祝圆满完成“抗疫”任务,若恰好从中间往两边看都依次变低,则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将身高从低到高的9个人依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,则9号定在正中间,两边是四个元素的定序排列,6号与9号分左右两边相邻,与6在同一边的另外3个元素(从1,2,3,4,5种任选3个)定序排列,另一边的四个元素定序排列, 最后根据古典概型的概率公式可得答案.身高最高【详解】将身高从低到高9个人依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,则9号必须排在正中间,从其余8个人中任选4人排在9号的左边,剩下的4个人排在9号的右边,有种,当排名第四的6号排在最高的9号的左边时,从1,2,3,4,5中任选3个排在6号的左边,其余四个排在9号的右边,有种,同理当当排名第四的6号排在最高的9号的右边时,也有10种,所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种,所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为.故选:A.【点睛】本题考查了排列中的定序问题,考查了古典概型的概率公式,属于中档题.8.已知直线与椭圆:交于两点,点,分别是椭圆的右焦点和右顶点,若,则( )A. 4B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】设椭圆的另一焦点为,根据椭圆对称性可得四边形为平行四边形,得到,从而有,得到关系,利用,即可求出结论.【详解】设椭圆的另一焦点为,连,直线过原点,所以坐标原点为中点,互相平分,所以四边形为平行四边形,.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及简单几何性质,注意椭圆定义在解题中的应用,属于基础题.9.为彻底打赢脱贫攻坚战,2020年春,某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10 000斤,成本2000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5000斤,成本3000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为( )A. 4万元B. 5.5万元C. 6.5万元D. 10万元【答案】B【解析】【分析】设种植冬瓜和茄子的种植面积分别为,亩,种植总利润为万元,然后根据题意建立关于与的约束条件,得到目标函数,利用线性规划的知识求出最值即可.【详解】设种植冬瓜和茄子的种植面积分别为,亩,种植总利润为万元,由题意可知,总利润作出约束条件如下图阴影部分: 联立解得,平移直线,当过点时,一年的种植总利润为取最大值5.5万元,故选:B.【点睛】本题主要考查了线性规划,解题的关键是得到约束条件和目标函数,同时考查了作图的能力,属于中档题.10.如图所示,四边形是正方形,其内部8个圆的半径相等,且圆心都在正方形的对角线上,在正方形内任取一点,则该点取自阴影部分的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设正方形的边长为1,圆的半径为r,根据圆心都在正方形的对角线上,建立边长与半径的关系,求得半径,进而求得8个圆的面积,再代入几何概型的概率公式求解.【详解】设正方形的边长为1,圆的半径为r,因为圆心都在正方形的对角线上,如图所示:,即,解得,所以阴影部分的面积为:,所以该点取自阴影部分的概率为.故选:A【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法,还考查了数形结合的思想方法,属于基础题.11.已知双曲线:的左、右焦点分别为,渐近线分别为,过作与平行的直线交于点,若,则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】不妨设,则,联立直线与,得到点的坐标,由,得到,再根据两点间的距离公式可得,从而可得离心率.【详解】不妨设,则,因为,联立,解得,所以,因为,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以离心率.故选:C.【点睛】本题考查了双曲线的焦点、渐近线、离心率,考查了平面向量的加、减法运算,属于中档题.12.对于函数(为自然对数的底数,),函数,给出下列结论:函数的图象在处的切线在轴的截距为函数是奇函数,且在上单调递增;函数存在唯一的极小值点,其中,且;函数存在两个极小值点,和两个极大值点,且.其中所有正确结论的序号是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出,写出切线点斜式方程,化简可判断;由的定义域,即可判断;构造函数,通过判断的单调性,得到的解,即可判断;求出,进而求出的单调区间,极值点,根据对称性即可判断.【详解】对于,函数的图象在处的切线方程为,令,即所求的切线在轴上的截距为,所以正确;对于,定义域不关于原点对称,所以不是奇函数,所以不正确;对于,当,当,设,时,为增函数,又恒成立,在上单调递增,即在上单调递增,所以存在唯一的,使得,当,所以时,取得极小值,所以正确;对于,显然不是极值点,取的定义域为,此时为奇函数,为偶函数,令,转化为求与在的交点,画出两函数图象,如下图所示,与在为奇函数,两函数图象有四个交点,与均关于原点对称,当时,所以时,取得极大值,时,取得极小值,当时,时偶函数,所以时,取得极大值,时,取得极小值,此时,所以正确.故选:C.【点睛】本题考查函数导数的综合应用,涉及到导数的几何意义、单调性、极值,注意函数对称性的应用,考查数形结合思想,以及直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.二填空题.13.如图,某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作,两只胳膊的夹角为,拉力大小均为,若使身体能向上移动,则拉力的最小整数值为_N(取重力加速度大小为,)【答案】405【解析】【分析】根据向量的加法运算,两个拉力的合力大于体重即可【详解】设是两个拉力,合力为,由于,在菱形中知,所以,所以的最小整数为405故答案为:405【点睛】本题考查向量加法的物理意义,力的合成与向量加法是等价的14.已知各项均为正数的数列的前项和为,若,则_.【答案】【解析】【分析】由数列通项与前n项和的关系得到,代入,化简得到,再利用等比数列的定义求解.【详解】由,代入,得:,即:,因为数列是正数数列,所以,所以数列是以为首项,以3为公比的等比数列,所以.故答案为:【点睛】本题主要考查数列通项与前n项和的关系以及等比数列的大于和通项公式,还考查了运算求解的能力,属于中档题.15.若函数在区间上恰好有一个零点,则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意可转化为函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点,根据函数单调性及图象可求a的范围,利用在上单调递增即可求解.【详解】依题意,函数在区间,上有零点等价于方程在区间,上恰有一个根,函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点,函数关于对称,在上有最小值,时,函数,令,当时,由复合函数单调性知单调递减,当时,所以函数和函数的图象在区间上无交点,当时,由复合函数单调性知单调递增,如图,由图可知,当,时,函数图象恰好有1个交点,此时,解得,因为在上单调递增,所以,即的最小值为,故答案为:【点睛】本题主要考查函数零点,函数图象的交点,函数的单调性,转化思想,分类讨论,利用函数单调性求最值,属于难题16.已知直三棱柱的顶点都在球的表面上,四边形的面积为若是等边三角形,则球体积的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据三棱柱是正三棱柱,得到外接球的球心为上下底面中心连线的中点,由四边形的面积为,得到底面边长和高的关系,然后利用基本不等式求得半径的最小值,再代入球的体积公式求解.【详解】如图所示:因为三棱柱是正三棱柱,所以外接球的球心为上下底面中心连线的中点,设外接球的半径为R,底面边长为a,高为h,因为四边形的面积为所以ah=,所以,当且仅当,即时,取等号,所以,所以球体积最小值为.故答案为:【点睛】本题主
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